易混 2026 年云南预赛 · P006110
两题都在第一次满足条件时停止，但一题失败一整轮后回到完全相同的局面，另一题仍保留当前分数的信息。前者可以叠加重复循环，后者必须只递推尚未停止的内部状态。
不能因为都有停局规则，就把所有未结束的路径合成一个状态。
培玉 · 一试
2025 年福建预赛
带停时的随机游走第六局终止概率
F3填空题概率
某棋手与一款机器人进行围棋挑战赛。棋手初始分数为 分；每局胜加 分， 平局不得分，负减 分。当总分为 分时挑战失败、比赛终止；当总分为 分时 挑战成功、比赛终止；否则继续比赛。每局胜、平、负的概率分别为 ，且各局相互独立。则恰好在第 局比赛结束后比赛终止的概率为 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
比赛尚未终止时，分数只能是 或 。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
与逐条枚举胜负平序列相比， 按这两个状态递推能自动排除提前到达 或 的路径。
解答
以 为单位，令 分别表示进行完 局后比赛尚未终止且分数为 的概率分子，即相应概率分别为 。 初始时
从分数 留在 、升到 的权重分别为 ； 从分数 降到 、留在 的权重分别为 。故
依次计算得
第 局恰好终止：若此前分数为 ，第六局必须负，权重为 ； 若此前分数为 ，第六局必须胜，权重为 。因此所求概率为
复核
递推只保留内部状态 ，到达边界的路径不会再次进入计算，因而确实统计“首次在第六局终止”。 最后一步的两种终止事件互斥，且分别使用负局概率 、胜局概率 。
方法总结
带吸收边界的比赛问题适合用状态递推。只记录尚未终止的状态， 再在目标时刻把各内部状态乘以一步到边界的概率，可避免繁琐且容易漏掉“提前终止”的序列枚举。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须只对尚未终止的内部分数1和2建立递推，最后一步单独计入吸收，避免提前终止路径混入。
联系 · 3 条
同一骨架 2026 年北京预赛 · P005966
逐段处理时不必保留全部历史，只须保存决定下一步的完整状态，再合并到达同一状态的路径。一题记录进位及其可达性，另一题记录尚未终止的分数并累计路径权重；初态与允许的终态都必须明确。
数位加法的可达状态与比赛过程的概率状态，分别使用是否可达和路径权重，但都依赖状态转移压缩历史。
同一骨架 2021 年重庆预赛 · P006945
两题都要追踪首次到达边界的时刻，终点信息本身不能保证此前路径合法。固定终止时刻时，应先限制前面所有状态仍在允许区域，再让最后一步进入边界；计数与概率的区别在于后者须保留题中各步的实际权重。
前题统计受下边界限制的正负步路径；后题有两个吸收边界及停留步，路径需要按给定胜负和局概率加权。
已记下，谢谢！