2025 年浙江预赛

解答

利用 $y,z$ 的对称性，将二次型中的后三项按 $y+z$ 与 $y-z$ 配方：

代入已知条件并利用 $5(y-z{)}^2\ge 0$，得

再对 $x+(y+z)$ 应用二元柯西不等式：

因此 $x+y+z\le \sqrt{\frac{6}{5}}=\frac{\sqrt{30}}{5}$。 当且仅当 $y-z=0$、$5x=y+z$ 且 $5x^2+(y+z{)}^2=1$，即 $x=\frac{\sqrt{30}}{30}$，$y=z=\frac{\sqrt{30}}{12}$ 时，上述不等式全部取等号。故 $x+y+z$ 的最大值为