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2026 年四川预赛

正八边形上两只独立随机游走兔子的相遇期望

F3填空题概率

设多边形 $A_{1} A_{2} \dots A_{8}$ 为一个正八边形，有 $2$ 只兔子最初分别位于顶点 $A_{4}$ 和 $A_{8}$ 处。每过 $1$ 分钟， $2$ 只兔子同时随机、独立地跳到与其当前位置相邻的两个顶点中的一个。一旦 $2$ 只兔子跳到了同一个顶点，则停止跳跃。则当兔子停止跳跃时，跳跃时间的分钟数的期望是。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

把两个兔子的绝对位置压成差除以2的四状态环，再利用对称只列两个期望方程，需计入同向跳的原地等待概率。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：状态转移与递推、对称性与重复计数

专题卡：对称性、状态递推（马尔可夫链）