2015 年陕西预赛 · 第 7 题

解答

设 $u=\tan (A/2)>0,v=\tan (B/2)>0$，则 $u+v=1$。因 $A/2+B/2<\pi /2$，可用正切和公式得 $\tan (C/2)=\cot ((A+B)/2)=(1-uv)/(u+v)=1-uv$。由 $(u-v{)}^2\ge 0$，有 $uv\le (u+v{)}^2/4=1/4$，所以 $\tan (C/2)\ge 3/4$。等号在 $u=v=1/2$ 取得，故最小值为 $\boxed{3/4}$。