易混 2026 年广州预赛 · P006119
两题都借一个平方条件先压缩候选，再检查另一平方条件；但“找最小解”和“列全所有解”需要不同的停止证明。一个可行见证只能给最小值搜索上界，不能自动给全部解的上界。
一题通过相邻平方差限制增量并穷尽全部情形；另一题只需排尽可行见证之前的有限候选。
培玉 · 一试
2021 年江西预赛
F2填空题数论
使得 与 同时成为完全平方数的最小正整数 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
从较小的平方条件 出发，列出小于候选值时仅有的有限可能， 再验证另一个平方条件。
解答
先看 ，有
所以 符合条件。
下面证明它最小。若 ，则
又 ，而平方数模 只能为 或 ， 故在此范围内只可能为
分别给出 。但相应的 分别为
均不是完全平方数。因此不存在更小的正整数解，所求为
复核
虽在 与 之间，但 ， 不能写成 ；上述三个候选已穷尽全部可能平方数。
方法总结
求最小整数解时，先找到一个可行上界，再利用其中一个平方条件列出上界以内的有限候选， 可避免求解完整的 Pell 型方程。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
找到n=16后，只需枚举更小范围内模3余1的三个平方候选并检查另一式，无须一般Pell理论。
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