2016 年山西预赛 · 第 7 题

解答

$n(n+1)\in B$ 当且仅当存在正整数 $m$ 使

即 $n(n+1)\equiv 2(\mathrm{mod}3)$。当 $n\equiv 0,1,2(\mathrm{mod}3)$ 时，$n(n+1)$ 分别同余于 $0,2,0$，所以恰须 $n\equiv 1(\mathrm{mod}3)$。所有可取的正整数依次为 $n=3k-2$，$k=1,2,\dots$。反之，这些 $n$ 对应的 $m=(n(n+1)+1)/3$ 都是正整数。又因 $n(n+1)$ 在正整数上严格递增，故交集第 $k$ 个元素为