2018 年中科大少年班初试 · 第 11 题

解答

令 $b_n=a_n/n^3$，递推给出 $b_{n+1}=b_n+1/n^2$，且 $b_1=1$，因此

各项为正，且

连乘相消可得

当 $n=1$ 时此值为 $2<3$；当 $n\ge 2$ 时，因 $1/k^2<1/[k(k-1)]$ 对 $k\ge 2$ 成立，故平方倒数和小于 $1+{\sum }_{k=2}^{n}1/[k(k-1)]=2-1/n<2$。所以 $\boxed{\prod _{k=1}^n(1+k/a_k)<3}$。