2026 年广西预赛

思路

函数 $s{e}^{-s}$ 在正半轴先增后减，峰值在一。比较对称点可对其值之比取对数，再用导数证明 $\ln \frac{1+t}{1-t}>2t$（$0<t<1$）。

想法从哪来：先把零点与极值点分开处理：零点中有正因子可以约去，极值点则来自导数为零，两者方程不能混用。两个极值点的存在本身限制参数，考察对数除以自变量的图像，就知道两点分别位于峰值位置两侧。 目标是两个横坐标的乘积，因而试取对数，把乘积变成两个新参数之和。两点满足的同值方程随之变成“参数乘负指数”的同值关系。若要证明和超过某常数，可把较小参数关于峰值点反射，比较反射值与原值；再利用右支严格递减，判断真正的另一点落在反射点哪一侧。这样无须显式解出两个超越方程根。

定义域为 $x>0$。第（1）问约去正因子 $x$ 后用单调性确定唯一根。 第（2）问的极值点满足 $\ln x=mx$；改写为 $(\ln x)/x=m$ 可看清两根分居 $e$ 两侧， 再令 $u=\ln x_1,v=\ln x_2$，把乘积不等式化为 $u+v>2$。