2025 年广州预赛

解答

（1）以 $AB$ 为直径的圆为

代入已知交点得 $b^2=1$，故 $b=1$。该点又在直线 $ax-by=0$ 上，所以

从而 $a=\sqrt{3}$。因此

（2）令

则椭圆化为单位圆 $X^2+Y^2=1$，而方向向量 $(\sqrt{3},1)$ 化为 $(1,1)$。故所求直线可写成

设它与单位圆的两个交点为 $(X_1,X_1+t)$、$(X_2,X_2+t)$。由

及韦达定理，

在原坐标中 $A=(0,1)$，故

利用 (1) 展开可得

以及

两向量夹角为 $\frac{2\pi }{3}$，所以其点积为负，且余弦为 $-\frac{1}{2}$。因 $t=1$ 时直线经过 $A$，不合题意，故由 (2)、(3) 平方并约去 $(t-1{)}^2$，得到

即

当 $t=-1$ 时，式 (2) 的右端为正，对应夹角不是 $\frac{2\pi }{3}$；故只能有

此时 $|t|<\sqrt{2}$，直线确与单位圆交于两个不同点，且 $t\ne 1$，两点均异于 $A$。因此所求直线存在且唯一，其方程为

即