培玉 · 一试
2022 年福建预赛
交集受限的课题组最大数
某校数学兴趣小组有 位同学，他们组成了 个不同的课题组。每个课题组有 位同学，每位同学至少参加 个课题组，且任意两个课题组至多有 位共同的同学。求 的最大值。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
Fano 平面是这个七点七组三元结构的课外名字；本题可直接列组验证，不依赖该理论。循环差集的解释是：固定两个不同平移量，它们的交点由一个非零差唯一确定。
想法从哪来：课题组之间的交叠受限，先把每位同学参加次数作为变量，数“某同学同时参加的两组”。 一方面它等于各 之和，另一方面每个组对最多贡献2。总参加次数固定，柯西给二次和下界，于是不用列组就能获得上界。等号又提示每位同学应参加同样多的组。 构造时把14人先看成7对，再找七个三元编号组使任意两组恰交一个编号。模7循环平移 能做到这一点，因为它的有向非零差恰好各出现一次。把每个编号复制为两人，就把交1放大成交2且保持均衡。
上界对“同学与课题组的关联”及“两组的共同同学”作两次计数；构造则把 Fano 平面的点加倍，使任意两条线的唯一交点变成恰好两名共同同学。
解答
设第 位同学参加 个课题组。则
对“两个课题组及其一名共同同学”计数，得到
另一方面，由 Cauchy 不等式，
故
结合 (1)、(2)，并约去 ，得
所以 。
下面给出 的具体构造。先取七个编号 ，考虑七个三元组
每个编号出现 次，任意两个三元组恰有一个公共编号。把每个编号复制成两名同学；对每个三元组，把三个编号对应的六名同学组成一个课题组。这样共有 名同学和 个不同的六人组，每名同学参加 组，任意两组恰有公共编号所对应的两名共同同学。因此
复核
构造中每位同学参加 个组，且任意两组共同人数恰为 ；上界与构造完全吻合。
方法总结
定长子集族且交集受限时，用成员度数统计集合对的交叠，再用平方和下界；达到界的结构常来自有限射影平面或区组设计。
为什么评为 F5（会透露解法方向）
上界由出席次数与组对交集双计数，达到7则需构造七个两两交一的三元组并复制成员，使每人参加次数及交集上界同时满足，核心是非标准设计构造。
已记下，谢谢！