2017 年黑龙江预赛 · 第 19 题

解答

取 $D=(0,0,0),B=(-3,0,0),C=(3,0,0),A=(0,4,0)$，柱高六，故 $A_1=(0,4,6),C_1=(3,0,6),E=(-3,0,3)$。平面 $A{C}_{1}D$ 为 $2x-z=0$，法向 $n=(2,0,-1)$。（1）$\overrightarrow{A_{1}B}=(-3,-4,-6)$ 与 $n$ 点积为零，且直线上 $2x-z=-6\ne 0$，故 $\boxed{A_{1}B\Vert \text{平面 }A{C}_{1}D}$。（2）$\overrightarrow{CE}=(-6,0,3)=-3n$，所以 $\boxed{CE\perp \text{平面 }A{C}_{1}D}$。（3）取棱方向 $w=C_1-A=(3,-4,6)$，取两侧向量 $u=C-A=(3,-4,0),v=D-A=(0,-4,0)$，分别去掉沿 $w$ 的投影。所得 $u_{\perp }\cdot v_{\perp }=576/61$，$|u_{\perp }{|}^2=900/61,|v_{\perp }{|}^2=720/61$。这两向量指向含 $C,D$ 的指定半平面，故二面角余弦为 $\boxed{576/\sqrt{900\cdot 720}=8\sqrt{5}/25}$。