2009 年辽宁预赛 · 第 14 题

解答

（1）离心率给 $a^2=3b^2$，而轴截线至原点距离为 $ab/\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3}/2$，所以 $b^2=1,a^2=3$，方程为 $\boxed{x^2/3+y^2=1}$。（2）记 $d=1+3k^2$。直线代入椭圆得 $d{x}^2+6ktx+3t^2-3=0$，根和 $s=-6kt/d$，根积 $p=3(t^2-1)/d$。相对于 $E=(-1,0)$ 的点积为 $(1+k^2)p+(1+kt)s+1+t^2=2(2t^2-3kt-1)/d$。对任意 $t>0$ 取 $\boxed{k=(2t^2-1)/(3t)}$，点积便为零。此时交点二次方程判别式为 $4(t^4-t^2+1)/t^2>0$，因为 $t^4-t^2+1=(t^2-1/2{)}^2+3/4$。所以确有两个不同交点，它们相对 $E$ 的两向量垂直，从而以该弦为直径的圆过 $E$。