同一骨架 2022 年甘肃预赛 · P006812
两题都先保留“存在的那个自变量”，从它给参数的约束提取一个必要最优界，再回头核查等号能否与原条件同时实现。一题使用参数平面中直线到原点的最短距离，另一题配出非负平方；只得到不等式界还不够。
前题需兼顾参数向量方向和自变量区间，后题需同时满足平方为零及辅助函数取最值；两种取等条件都必须实际回代。
培玉 · 一试
2024 年吉林预赛
F3填空题导数的应用
已知函数
若存在 ，使得 ，则实数 的最大值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
将不等式配方，保留一个非负平方，再用 的经典最大值。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
等价于
故必有 ，从而
当 时上述两个不等式同时取等，所以最大值为 。
复核
等号点有 ，且 ，原不等式确实取等。
方法总结
存在性参数不等式可通过配方提取必要条件，再检查必要条件的等号是否能同时达到。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须先把a相关部分凑平方，推出a不超过ln m/m，再检查两重取等条件同时在m=e成立。
联系 · 1 条
已记下，谢谢！