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复数的概念与运算

从这里开始

目标训练建设中。知识要点、方法卡和分级真题已可使用；先从一道真题开始，卡住时逐级看提示，核对后再换题验证。

从 F1 第一题开始随机来一道 F2

本专题核心公式速查

复数计算的重点，是在代数形式、共轭、模和单位圆之间选择最省事的表达。先检查分母与变量范围，再决定拆实虚部还是保留整体。方程的系数属于实数还是复数、目标要求整个复数还是只求实部，都会改变可用的方法。

1. 先修与破题直觉：把复数写成 $x + y i$ ，先算 $2 i$ 的共轭与倒数。两者都在虚轴上，却不是同一个数；用乘回分母等于 $1$ 检查倒数。

2. 核心条件辨析：使用 $1/ z = \overline{z}$ 前核 $∣ z ∣ = 1$ ；约去 $z - i$ 前核 $z \neq = i$ 。相等、取模相等和实部相等是不同强度的条件。

3. 典型误区对比：先读下方倒数与约分的两组红绿卡，再做概念自测；遇到“实数”与“纯虚数”，单查 $z = 0$ ，不要借用未给出的非零条件。

4. 方法迁移带练：把倒数换元例由 $2 i$ 改成 $3 i$ ，得到 $- i /3$ ；再用“设实虚部并保留全部分支”核 $z^{2}$ 为实数的坐标条件。

5. 分级真题实战：先从本页“共轭与除法”对应例题练分母禁值，再进入“单位模把倒数化为共轭”的真题；完成基础题后再挑战含多个复分式的题，每次保留原定义域。

先修（培玉高中数学）：复数的概念复数的四则运算复数的三角表示（选学）二次函数与一元二次方程、不等式

知识要点

复数相等给出两个实方程

设 $z = x + y i$ ，其中 $x, y \in R$ 。复数相等当且仅当实部、虚部分别相等；虚部是实数 $y$ ，不是 $y i$ 。例： $(a + 2 i) + (3 - bi) = 5 - i$ 给出 $a = 2, b = 3$ 。乘法先按分配律展开，再用 $i^{2} = - 1$ 合并；如 $(2 - i) (1 + 3 i) = 5 + 5 i$ 。若系数含三角量，还须保留其取值范围。

共轭与除法共同处理分母

共轭保持加法、乘法，且 $z \overline{z} = ∣ z ∣^{2}$ 。对 $w \neq = 0$ ，有 $z / w = z \overline{w} /∣ w ∣^{2}$ ；先记下禁值，再有理化或约分。例： $(3 + i) / (1 - i) = (3 + i) (1 + i) /2 = 1 + 2 i$ 。非零 $w$ 满足 $∣ w / \overline{w} ∣ = 1$ ，但这个比值通常并不等于 $1$ 。

模平方把长度与混合项联系起来

模非负，且 $∣ uv ∣ = ∣ u ∣∣ v ∣$ 、 $∣ u \pm v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} \pm 2 Re (u \overline{v})$ 。目标只含长度时，先算平方往往能直接利用已知的共轭对称和。例： $∣ z ∣ = 2, Re z = 1$ 时， $∣ z - 1 ∣^{2} = 4 - 2 + 1 = 3$ ，所以 $∣ z - 1∣ = 3$ ； $z = 1 + 3 i$ 说明条件可实现。

单位圆允许把倒数换成共轭

仅当 $∣ z ∣ = 1$ 时，才能用 $1/ z = \overline{z}$ 。由此还得 $Re z^{2} = 2 (Re z)^{2} - 1$ 。例： $z = (3 + 4 i) /5$ 的倒数为 $(3 - 4 i) /5$ ，而 $Re z^{2} = - 7/25$ 。式 $(z + 1) / (\overline{z} + 1) = z$ 还要求 $z \neq = - 1$ ，不能因化简后的式子有定义而补进被除去的点。

共轭根与韦达各有适用条件

实系数多项式的非实根成共轭对；韦达关系则对复系数也成立。例： $t^{2} - 4 t + 5 = 0$ 的根为 $2 \pm i$ ，根的模均为 $5$ ，乘积为 $5$ 。若只知道根非实，不能对复系数方程擅自配共轭根；若复系数方程要求实根，应把该实根代入并同时令实部、虚部为零。

实数、纯虚数与符号须分别检查

$z$ 为实数等价于 $z = \overline{z}$ ；为纯虚数则须实部为零且 $z \neq = 0$ 。分式要求负实数时，虚部为零之外还要检查实部严格小于零。例： $z = x + y i$ 满足 $z^{2} \in R$ ，只得到 $2 x y = 0$ ，有实轴和虚轴两支； $z = 3 i$ 也符合，不能只保留实数支。

高次幂先看周期、模与整体形式

$i$ 的整数次幂以 $4$ 为周期；求和可先消去完整周期。一般复数的幂还满足 $∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}$ ，模的增长与辐角周期须分开处理。例： $i^{10} = - 1$ ，且 $i + i^{2} + \dots + i^{10} = i - 1$ ； $(1 - i)^{2} = - 2 i$ ，所以 $(1 - i)^{6} = 8 i$ 。若一长串项来自二项式展开，优先还原成整体幂。

线性结构允许先合并贡献再求值

等和条件可通过比较两条和消去共有项；对有限个表达式求总和，也可先固定一个位置统计贡献。例： $p, q \in {1, i}$ 时，四个不同的 $p + 3 q$ 之和为 $2 (1 + i) + 6 (1 + i) = 8 (1 + i)$ 。若求的是不同结果之和，须先证明表示无重复，不能直接把参数组数当成结果个数。

方法卡

设 $z = x + y i$ ：实部虚部分开列方程，每一支都解到底

两个复数相等，就是实部相等、虚部相等。设 $z = x + y i$ ，一个复数方程就变成两个实数方程。乘积为零要分开讨论，不能约掉可能为零的式子，解完还要回到 $x, y$ 的范围检查。

完整讲解 · 例题 · 可练 14 题

一、是什么

记号

复数写成 $z = x + y i$ ，其中 $x, y$ 是实数， $i^{2} = - 1$ 。 $x$ 叫实部，记作 $Re z$ ； $y$ 叫虚部，记作 $Im z$ ，注意虚部是实数 $y$ ，不是 $y i$ 。共轭 $\overline{z} = x - y i$ ，模 $∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$ ，表示点 $(x, y)$ 到原点的距离。例如 $z = 3 - 4 i$ ：实部 $3$ ，虚部 $- 4$ ， $\overline{z} = 3 + 4 i$ ， $∣ z ∣ = 5$ 。

为什么能分开

若 $a + b i = c + d i$ ， $a, b, c, d$ 都是实数，则 $a - c = (d - b) i$ 。如果 $d \neq = b$ ，右边不是实数，左边是实数，矛盾，所以 $b = d$ ， $a = c$ 。这一步要求 $a, b, c, d$ 都是实数，所以设完 $x, y$ 后要把实部和虚部整理清楚。

展开和平方

$(x + y i)^{2} = x^{2} + 2 x y i + y^{2} i^{2} = (x^{2} - y^{2}) + 2 x y i$ 。所以 $z^{2}$ 的实部是 $x^{2} - y^{2}$ ，虚部是 $2 x y$ 。例如 $(1 + 2 i)^{2} = - 3 + 4 i$ 。

乘积为零：不约，分开解

若 $y (2 x + 1) = 0$ ，不能两边除以 $y$ ，因为 $y$ 可能是 $0$ 。要分别令 $y = 0$ 和 $2 x + 1 = 0$ ，每一支都代回另一个方程，解到底，最后把各支的结果合并。

先看一道例题

例 1：复数的平方根

求满足 $z^{2} = 3 + 4 i$ 的所有复数 $z$ 。

怎么看出来：

含 $z^{2}$ ，设 $z = x + y i$ ，分开后是两个实数方程。

解：

设 $z = x + y i$ ， $(x^{2} - y^{2}) + 2 x y i = 3 + 4 i$ ，所以 $x^{2} - y^{2} = 3$ ， $x y = 2$ 。 $x y = 2$ 说明 $x \neq = 0$ ， $y = \frac{2}{x}$ 。代入： $x^{2} - \frac{4}{x ^{2}} = 3$ ，两边乘 $x^{2}$ ， $x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$ ， $(x^{2} - 4) (x^{2} + 1) = 0$ 。 $x$ 是实数， $x^{2} + 1 > 0$ ，所以 $x^{2} = 4$ ， $x = \pm 2$ ，对应 $y = \pm 1$ （同号）。检查： $(2 + i)^{2} = 4 + 4 i - 1 = 3 + 4 i$ 。

答案：

$z = 2 + i$ 或 $z = - 2 - i$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
方程里有 $z^{2}$ ，或同时有 $z$ 和 $\overline{z}$	设 $z = x + y i$ ，分开实部虚部
分开后得到 $y (2 x + 1) = 0$ 这种乘积	分别令因子为零，两支都解到底
含 $∣ z ∣$	模是非负实数，平方前确认两边非负（见进阶“含模的方程”）
系数里有 $sin θ, cos θ$	用平方和消元，再查范围（见进阶“三角参数”）
实部、虚部都是整数	把模的平方写成平方和，逐个试（见进阶“整数坐标”）

三、怎么用

设 $z = x + y i$ ，写下范围。例如解 $z^{2} = 2 i$ ， $x, y$ 是实数。
代入，整理成“实部 $+$ 虚部 $i$ ”。 $(x^{2} - y^{2}) + 2 x y i = 2 i$ 。
实部、虚部分别相等。 $x^{2} - y^{2} = 0$ ， $2 x y = 2$ 。
逐支解。 $x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y) = 0$ ： $x = y$ 时 $x^{2} = 1$ ， $x = y = \pm 1$ ； $x = - y$ 时 $- x^{2} = 1$ ，实数 $x$ 无解。
代回检查。 $(1 + i)^{2} = 2 i$ ， $(- 1 - i)^{2} = 2 i$ ，所以 $z = \pm (1 + i)$ 。

四、再做一道

例 2：有共轭，两支都要解到底

求满足 $z^{2} = \overline{z}$ 的所有复数 $z$ 。

怎么看出来：

虚部方程能分解成乘积，不能约掉 $y$ 。

解：

设 $z = x + y i$ ， $(x^{2} - y^{2}) + 2 x y i = x - y i$ ，所以 $x^{2} - y^{2} = x$ ， $2 x y = - y$ 。第 $2$ 式移项： $y (2 x + 1) = 0$ 。第 $1$ 支 $y = 0$ ： $x^{2} = x$ ， $x = 0$ 或 $1$ 。第 $2$ 支 $x = - \frac{1}{2}$ ： $\frac{1}{4} - y^{2} = - \frac{1}{2}$ ， $y^{2} = \frac{3}{4}$ ， $y = \pm \frac{3}{2}$ 。检查 $z = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ ： $z^{2} = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - \frac{3}{2} i = - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i = \overline{z}$ 。若约掉 $y$ ，就只剩第 $2$ 支，丢了 $0$ 和 $1$ 。

答案：

$z = 0, 1, - \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} i$ 。

五、容易错在哪

虚部是实数 $y$ ，不要写成 $y i$ 。
除以可能为零的实部或虚部会丢掉一支。
设 $z = x + y i$ 时， $x, y$ 必须是实数，分开实部虚部才成立。
解完代数方程，还要查三角函数的范围或整数的要求。
$∣ z ∣$ 不等于 $\pm z$ ，只有 $z$ 是实数时才相等。
含根式的方程平方后要代回检查。

进阶：含模的方程

含模的方程：模是非负实数

$∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$ 是实数，放在实部还是虚部要看它前面有没有 $i$ 。出现根式时要移项平方，平方前确认两边非负，解完代回检查。另外 $9 + y^{2} > ∣ y ∣ \geq - y$ ，所以 $y + 9 + y^{2} > 0$ 对所有实数 $y$ 成立。

模和平方同时出现：先看虚部

在复数范围内， $∣ z ∣$ 不等于 $\pm z$ 。设 $z = u + v i$ 后， $z^{2}$ 的虚部是 $2 uv$ 。方程其余各项都是实数时，要求 $2 uv = 0$ ，所以 $u = 0$ 或 $v = 0$ ，分两支解。

例 3：含模，问何时有解

$b$ 是实数，关于复数 $z$ 的方程 $z + i ∣ z ∣ = 3 + b i$ 有解。求 $b$ 的范围。

怎么看出来：

$∣ z ∣$ 乘 $i$ ，放到虚部。实部直接给出 $x$ ，虚部是含根式的方程。

解：

设 $z = x + y i$ 。实部： $x = 3$ 。虚部： $y + 9 + y^{2} = b$ 。因为 $9 + y^{2} > ∣ y ∣ \geq - y$ ，左边总是正数，所以 $b \leq 0$ 时无解。 $b > 0$ 时： $9 + y^{2} = b - y$ ，要求 $b - y \geq 0$ 。平方： $9 + y^{2} = b^{2} - 2 b y + y^{2}$ ，得 $y = \frac{b ^{2} - 9}{2 b}$ 。检查： $b - y = \frac{b ^{2} + 9}{2 b} > 0$ ，平方前的条件满足。所以每个 $b > 0$ 都恰有一解。例如 $b = 9$ 时 $y = 4$ ， $z = 3 + 4 i$ ， $∣ z ∣ = 5$ ， $z + 5 i = 3 + 9 i$ 。

答案：

$b > 0$ 。

例 4：实数方程无解，复数有解

求满足 $z^{2} + ∣ z ∣ + 2 = 0$ 的所有复数 $z$ 。

怎么看出来：

$∣ z ∣$ 和 $2$ 都是实数，所以 $z^{2}$ 也要是实数， $z$ 只能是实数或纯虚数。

解：

设 $z = u + v i$ ，虚部： $2 uv = 0$ 。第 $1$ 支 $v = 0$ ： $u^{2} + ∣ u ∣ + 2 = 0$ ，左边至少是 $2$ ，无解。第 $2$ 支 $u = 0$ ： $z^{2} = - v^{2}$ ， $∣ z ∣ = ∣ v ∣$ ，方程变为 $- v^{2} + ∣ v ∣ + 2 = 0$ ，即 $∣ v ∣^{2} - ∣ v ∣ - 2 = 0$ ， $(∣ v ∣ - 2) (∣ v ∣ + 1) = 0$ ， $∣ v ∣ = 2$ 。检查 $z = 2 i$ ： $- 4 + 2 + 2 = 0$ 。

答案：

$z = \pm 2 i$ 。

进阶：三角参数 · 先修：二倍角公式

含三角函数：消元后查范围

实部虚部里有 $sin θ, cos θ$ 时，分开后用 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ 消元。解出的值要满足 $∣ sin θ ∣ \leq 1$ ， $∣ cos θ ∣ \leq 1$ ，还要符合 $θ$ 的范围决定的正负；如果某式等于平方，它还必须非负。

例 5：三角参数，用范围定符号

$θ \in [0, π)$ ，实数 $t$ 满足 $sin θ + i cos θ = t (1 + 2 i)$ 。求 $t$ 和 $sin 2 θ$ 。

怎么看出来：

分开实部虚部，正弦、余弦都用 $t$ 表示，再用平方和消去 $θ$ 。 $θ$ 的范围决定 $sin θ$ 的正负。

解：

$sin θ = t$ ， $cos θ = 2 t$ 。平方相加： $t^{2} + 4 t^{2} = 1$ ， $t = \pm \frac{5}{5}$ 。 $θ \in [0, π)$ 时 $sin θ \geq 0$ ，所以 $t = \frac{5}{5}$ ，负的舍去。 $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 4 t^{2} = \frac{4}{5}$ 。检查： $sin θ = \frac{5}{5}, cos θ = \frac{2 5}{5}$ ，平方和为 $1$ ，这样的锐角 $θ$ 存在，且在 $[0, π)$ 内。

答案：

$t = \frac{5}{5}$ ， $sin 2 θ = \frac{4}{5}$ 。

进阶：整数坐标

整数坐标：模的平方变成整数的平方和

实部、虚部都是整数的复数叫高斯整数。此时 $∣ z ∣^{2} = x^{2} + y^{2}$ 是两个平方数的和。把不超过 $∣ z ∣^{2}$ 的平方数列出来，一个一个试，不要漏掉负数和 $0$ 。

例 6：高斯整数计数

实部、虚部都是整数，且 $∣ z ∣ = 5$ 的复数 $z$ 有多少个？

怎么看出来：

$x^{2} + y^{2} = 25$ ，平方数只有 $0, 1, 4, 9, 16, 25$ ，逐个试。

解：

$x^{2}$ 取 $0, 1, 4, 9, 16, 25$ ，对应 $y^{2} = 25, 24, 21, 16, 9, 0$ 。其中是平方数的： $(x^{2}, y^{2}) = (0, 25), (9, 16), (16, 9), (25, 0)$ 。 $(0, 25)$ 给 $x = 0, y = \pm 5$ ， $2$ 个； $(25, 0)$ 也是 $2$ 个； $(9, 16)$ 给 $x = \pm 3, y = \pm 4$ ， $4$ 个； $(16, 9)$ 也是 $4$ 个。总数 $2 + 2 + 4 + 4 = 12$ 。

答案：

$12$ 个。

进阶：分母实数化

分母实数化

分母有 $i$ 时，上下乘分母的共轭，分母就成了实数，然后才能分出实部和虚部。例如 $\frac{1}{1 + 2 i} = \frac{1 - 2 i}{( 1 + 2 i ) ( 1 - 2 i )} = \frac{1 - 2 i}{5}$ ，实部 $\frac{1}{5}$ ，虚部 $- \frac{2}{5}$ 。

真题

按这个方法练 · 14 题

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含共轭的复数式：把 $z \overline{z}$ 换成 $∣ z ∣^{2}$ ，比值先取模再定方向

$z$ 的共轭是把虚部变号。共轭和原数相乘得到实数 $∣ z ∣^{2}$ ，这能去掉分母。比值 $\frac{w}{w}$ 的模一定是 $1$ ，所以先取模定大小，再回到原式定方向。

完整讲解 · 例题 · 可练 13 题

一、是什么

记号：复数、共轭、模

复数写成 $z = a + b i$ ，其中 $a, b$ 是实数， $i^{2} = - 1$ 。 $a$ 叫实部，记作 $Re z$ ； $b$ 叫虚部，记作 $Im z$ 。它在平面上对应点 $(a, b)$ 。两个复数相等，就是实部、虚部分别相等。 $\overline{z} = a - b i$ 叫共轭， $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ 叫模，表示点到原点的距离。例如 $z = 3 + 4 i$ ： $\overline{z} = 3 - 4 i$ ， $∣ z ∣ = 5$ 。

最常用的等式： $z \overline{z} = ∣ z ∣^{2}$

$(a + b i) (a - b i) = a^{2} - (b i)^{2} = a^{2} + b^{2}$ 。所以分母乘上自己的共轭就变成实数： $\frac{1}{1 + 2 i} = \frac{1 - 2 i}{( 1 + 2 i ) ( 1 - 2 i )} = \frac{1 - 2 i}{5}$ 。一般地， $z \neq = 0$ 时 $\frac{1}{z} = \frac{z}{∣ z ∣ ^{2}}$ 。共轭等于倒数只在 $∣ z ∣ = 1$ 时成立； $∣ z ∣ = 2$ 时是 $\overline{z} = \frac{4}{z}$ 。

共轭和模的运算规则

把两个复数写开直接乘，可以验证： $\overline{u + v} = \overline{u} + \overline{v}$ ， $\overline{uv} = \overline{u} \overline{v}$ ， $\overline{u / v} = \overline{u} / \overline{v}$ （ $v \neq = 0$ ）， $∣ uv ∣ = ∣ u ∣∣ v ∣$ ， $∣ u / v ∣ = ∣ u ∣/∣ v ∣$ ， $∣ \overline{w} ∣ = ∣ w ∣$ 。注意 $i$ 也要变号： $\overline{z - i} = \overline{z} + i$ ，而 $\overline{z - 1} = \overline{z} - 1$ 。

比值 $\frac{w}{w}$ ：先取模，再定方向

设 $w \neq = 0$ ，则 $\frac{w}{w} = \frac{∣ w ∣}{∣ w ∣} = 1$ ，所以这个比值如果是实数，只能是 $1$ 或 $- 1$ 。写 $w = a + b i$ ： $\frac{w}{w} = 1$ 即 $w = \overline{w}$ ，得 $b = 0$ ， $w$ 是非零实数。 $\frac{w}{w} = - 1$ 即 $w = - \overline{w}$ ，得 $a = 0$ ， $w$ 是非零的纯虚数（实部为 $0$ 、虚部不为 $0$ 的数）。只知道模等于 $1$ 还不够，比值也可能是 $\frac{3 + 4 i}{5}$ ，这时 $w = 2 + i$ ，既不是实数也不是纯虚数。

先看一道例题

例 1：分式换成共轭

复数 $z$ 满足 $∣ z ∣ = 2$ ， $z + \frac{4}{z} = 2$ 。求 $z$ 。

怎么看出来：

$\frac{4}{z}$ 的分子正好是 $∣ z ∣^{2}$ ，所以这个分式就是共轭。

解：

分母要求 $z \neq = 0$ ，这已由 $∣ z ∣ = 2$ 保证。由 $z \overline{z} = ∣ z ∣^{2} = 4$ 得 $\frac{4}{z} = \overline{z}$ 。方程变为 $z + \overline{z} = 2$ 。设 $z = x + y i$ ， $z + \overline{z} = 2 x$ ，所以 $x = 1$ 。再由 $x^{2} + y^{2} = 4$ 得 $y = \pm 3$ 。检查： $z = 1 + 3 i$ 时， $\frac{4}{z} = \frac{4 ( 1 - 3 i )}{1 + 3} = 1 - 3 i$ ，相加得 $2$ ； $z = 1 - 3 i$ 时， $\frac{4}{z} = 1 + 3 i$ ，相加也得 $2$ 。

答案：

$z = 1 \pm 3 i$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
分母是复数，如 $\frac{1}{1 + 2 i}$	上下乘分母的共轭
已知 $∣ z ∣$ ，式子里有 $\frac{k}{z}$ ，如 $∣ z ∣ = 2$ 和 $\frac{4}{z}$	用 $z \overline{z} = ∣ z ∣^{2}$ 把分式换成共轭
分子分母互为共轭的线性式，如 $\frac{z - 1}{z - 1}$	设 $w = z - 1$ ，写成 $\frac{w}{w}$ ，先取模
两个单位模复数的和或积	取共轭，用 $\overline{z} = \frac{1}{z}$ 换成原数（见进阶“判断类型和单位模”）
要判断一个分式的实部	算它的共轭，看等于自身还是相反数（见同一进阶）
$(u + v) (\overline{u} - \overline{v})$ 这样的积，或 $∣ u \pm v ∣$	按模的平方展开，实部虚部分开（见同一进阶）

三、怎么用

写分母的要求。例如解 $\frac{z - i}{z + i} = - 1$ ：分母 $\overline{z} + i$ 是 $z - i$ 的共轭，所以要求 $z \neq = i$ 。
找共轭对并整体设元。设 $w = z - i$ ， $w \neq = 0$ ，则 $\overline{w} = \overline{z} + i$ ，方程变为 $\frac{w}{w} = - 1$ 。
用模或 $w \overline{w} = ∣ w ∣^{2}$ 确定大小。这里已给了比值 $- 1$ ，它的模是 $1$ ，符合；若比值未知，先取模。
回到原式定方向。 $w = - \overline{w}$ 说明 $Re w = 0$ ，所以 $Re z = 0$ ，即 $z = y i$ （ $y$ 为实数）。
恢复开始写的禁值并检查。 $y \neq = 1$ 。取 $z = 3 i$ ： $\frac{2 i}{- 2 i} = - 1$ ，成立。

四、再做一道

例 2：比值先取模

复数 $z \neq = 1$ ，且 $\frac{z - 1}{z - 1}$ 是实数。 $z$ 在复平面上的什么位置？

怎么看出来：

分子分母互为共轭，先设 $w = z - 1$ ；题目没给比值的大小，所以先取模。

解：

设 $w = z - 1$ ， $w \neq = 0$ ，则分母是 $\overline{w}$ 。设比值为实数 $k$ ，取模得 $∣ k ∣ = \frac{∣ w ∣}{∣ w ∣} = 1$ ，所以 $k = 1$ 或 $k = - 1$ 。 $k = 1$ 时 $w = \overline{w}$ ， $w$ 是实数，所以 $z$ 是实数。 $k = - 1$ 时 $w = - \overline{w}$ ， $Re w = 0$ ，所以 $Re z = 1$ 。反过来，这两种情况的 $z$ （除 $z = 1$ 外）比值确实是 $1$ 或 $- 1$ 。检查： $z = 3$ 时比值 $\frac{2}{2} = 1$ ； $z = 1 + i$ 时比值 $\frac{i}{- i} = - 1$ ； $z = 2 + i$ 时比值 $\frac{1 + i}{1 - i} = i$ ，不是实数，它不在这两条线上。

答案：

$z$ 在实轴或直线 $Re z = 1$ 上，除去 $z = 1$ 。

五、容易错在哪

共轭和倒数只在 $∣ z ∣ = 1$ 时相等。一般情况是 $\overline{z} = \frac{∣ z ∣ ^{2}}{z}$ ，其中 $z \neq = 0$ 。
$\frac{w}{w}$ 不一定等于 $1$ 。它的模是 $1$ ，具体值要看 $w$ 的方向；是实数时才能只取 $\pm 1$ 。
只比较模会丢掉方向。 $∣ u ∣ = ∣ v ∣$ 不能推出 $u = v$ ，所以取模后要回到原等式。
约掉一个因子后，原来的禁值仍要保留。例如比值中 $w = 0$ 的点原来就没有意义。

进阶：判断类型和单位模 · 先修：本卡基础部分

用共轭判断实数和纯虚数

由 $w + \overline{w} = 2 Re w$ 和 $w - \overline{w} = 2 i Im w$ ： $\overline{w} = w$ 当且仅当 $w$ 是实数； $\overline{w} = - w$ 当且仅当 $Re w = 0$ 。后者包含 $w = 0$ ，所以要说“非零纯虚数”时，还要单独排除 $w = 0$ 。

单位模：共轭就是倒数

$∣ z ∣ = 1$ 时 $z \overline{z} = 1$ ，所以 $\overline{z} = \frac{1}{z}$ 。这时含 $\overline{z}$ 的分式可以全部换成 $z$ 的分式，例如 $\overline{z} + 1 = \frac{1 + z}{z}$ 。 $z = - 1$ 时这个式子等于 $0$ ，放到分母上要先排除。

模的平方展开

由 $∣ u ∣^{2} = u \overline{u}$ ： $∣ u + v ∣^{2} = (u + v) (\overline{u} + \overline{v}) = ∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} + (u \overline{v} + \overline{u} v)$ ， $∣ u - v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} - (u \overline{v} + \overline{u} v)$ 。其中 $u \overline{v}$ 和 $\overline{u} v$ 互为共轭，所以 $u \overline{v} + \overline{u} v = 2 Re (u \overline{v})$ 是实数， $u \overline{v} - \overline{u} v = 2 i Im (u \overline{v})$ 实部为 $0$ 。两式相加得 $∣ u + v ∣^{2} + ∣ u - v ∣^{2} = 2∣ u ∣^{2} + 2∣ v ∣^{2}$ 。遇到形如 $(u + v) (\overline{u} - \overline{v})$ 的积，也这样展开，实部和虚部就分开了。

例 3：单位模的和与积

$∣ z_{1} ∣ = ∣ z_{2} ∣ = 1$ ， $z_{1} + z_{2} = 1 + i$ 。求 $z_{1} z_{2}$ 。

怎么看出来：

单位模复数的共轭是倒数，对和取共轭，就能把积引出来。

解：

对条件取共轭： $\overline{z_{1}} + \overline{z_{2}} = 1 - i$ 。单位模给出 $\overline{z_{1}} = \frac{1}{z _{1}}, \overline{z_{2}} = \frac{1}{z _{2}}$ ，所以 $\frac{z _{1} + z _{2}}{z _{1} z _{2}} = 1 - i$ 。两边乘 $z_{1} z_{2}$ ，再除以 $1 - i \neq = 0$ ： $z_{1} z_{2} = \frac{1 + i}{1 - i} = \frac{( 1 + i ) ^{2}}{2} = i$ 。检查： $z_{1} = 1, z_{2} = i$ 满足全部条件，积正是 $i$ 。

答案：

$i$ 。

例 4：用共轭判断实部

$∣ z ∣ = 1$ ， $z \neq = 1$ ， $w = \frac{1 + z}{1 - z}$ 。求 $Re w$ ，并说明 $z$ 取何值时 $w$ 是非零纯虚数。

怎么看出来：

单位模下共轭可换成倒数，算 $\overline{w}$ 看它和 $w$ 的关系。

解：

由共轭规则和 $\overline{z} = \frac{1}{z}$ ： $\overline{w} = \frac{1 + \frac{1}{z}}{1 - \frac{1}{z}} = \frac{z + 1}{z - 1} = - w$ 。这里分子分母都乘了 $z \neq = 0$ ，且分母 $z - 1 \neq = 0$ 。 $\overline{w} = - w$ 说明 $Re w = 0$ 。 $w = 0$ 当且仅当 $z = - 1$ ，这时 $w$ 是 $0$ ，不算非零纯虚数。检查： $z = i$ 时 $w = \frac{1 + i}{1 - i} = i$ ； $z = - 1$ 时 $w = 0$ 。

答案：

$Re w = 0$ ； $∣ z ∣ = 1$ 且 $z \neq = \pm 1$ 时 $w$ 是非零纯虚数。

真题

按这个方法练 · 13 题

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求模或距离：把 $∣ z ∣^{2}$ 写成 $z \overline{z}$ ，展开后合并

模带根号，不好直接算；它的平方等于 $z \overline{z}$ ，可以展开。展开后互为共轭的两项加起来是实数，这常常就是已知量。最后开方，取非负的根。

完整讲解 · 例题 · 可练 14 题

一、是什么

记号和 $z \overline{z} = ∣ z ∣^{2}$

复数写成 $z = x + y i$ ，其中 $x, y$ 是实数， $i^{2} = - 1$ 。 $x$ 叫实部，记作 $Re z$ ； $y$ 叫虚部，记作 $Im z$ ，注意虚部是实数 $y$ ，不是 $y i$ 。共轭 $\overline{z} = x - y i$ ，模 $∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$ ，表示点 $(x, y)$ 到原点的距离。 $(x + y i) (x - y i) = x^{2} + y^{2}$ ，所以 $z \overline{z} = ∣ z ∣^{2}$ ，它一定是实数。注意 $z^{2}$ 不是 $∣ z ∣^{2}$ ： $z = i$ 时 $z^{2} = - 1$ ， $∣ z ∣^{2} = 1$ 。

模和共轭的运算规则

把两个复数写开相乘可以验证： $\overline{u + v} = \overline{u} + \overline{v}$ ， $\overline{uv} = \overline{u} \overline{v}$ ， $∣ uv ∣ = ∣ u ∣∣ v ∣$ ， $∣ \overline{u} ∣ = ∣ u ∣$ 。所以 $∣ z^{3} ∣ = ∣ z ∣^{3}$ ： $z = 3 + 4 i$ 时 $∣ z^{3} ∣ = 125$ 。但模不能拆加法： $∣ u + v ∣$ 一般不等于 $∣ u ∣ + ∣ v ∣$ 。

展开模的平方

$∣ u + v ∣^{2} = (u + v) (\overline{u} + \overline{v}) = ∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} + u \overline{v} + \overline{u} v$ 。 $u \overline{v}$ 和 $\overline{u} v$ 互为共轭，和是实数，等于 $2 Re (u \overline{v})$ （实部的 $2$ 倍）。同样 $∣ u - v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} - u \overline{v} - \overline{u} v$ 。两式相加，交叉项消失： $∣ u + v ∣^{2} + ∣ u - v ∣^{2} = 2∣ u ∣^{2} + 2∣ v ∣^{2}$ 。

最后开方，并看数据能否实现

$∣ w ∣^{2}$ 算出来后， $∣ w ∣$ 取非负的平方根。如果 $∣ w ∣^{2}$ 算出负数，说明条件矛盾。写一个具体的复数代进去，能确认条件确实能同时满足。知道模相同，不能说复数相等： $∣3 + 4 i ∣ = ∣3 - 4 i ∣$ ，但两个数不同。

先看一道例题

例 1：和差的模相等

复数 $u, v$ 满足 $∣ u ∣ = 3, ∣ v ∣ = 4, ∣ u + v ∣ = ∣ u - v ∣$ ，求 $∣ u + 2 v ∣$ 。

怎么看出来：

两个模相等，展开后交叉项必须为零。目标里的系数不同，所以要展开算。

解：

$∣ u + v ∣^{2} - ∣ u - v ∣^{2} = 2 (u \overline{v} + \overline{u} v)$ ，它等于 $0$ ，所以 $u \overline{v} + \overline{u} v = 0$ 。 $∣ u + 2 v ∣^{2} = (u + 2 v) (\overline{u} + 2 \overline{v}) = ∣ u ∣^{2} + 4∣ v ∣^{2} + 2 (u \overline{v} + \overline{u} v) = 9 + 64 + 0 = 73$ ，开方取非负值。检查：取 $u = 3, v = 4 i$ ， $∣3 + 4 i ∣ = ∣3 - 4 i ∣$ ， $∣3 + 8 i ∣ = 73$ 。

答案：

$73$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
已知 $∣ u ∣, ∣ v ∣, ∣ u + v ∣$ ，求别的组合的模	先求交叉项 $u \overline{v} + \overline{u} v$ ，再展开目标
已知 $∣ z ∣$ 和 $∣ z - a ∣$	展开得 $\overline{a} z + a \overline{z} = 2 Re (\overline{a} z)$ ，它只给 $x, y$ 的一个一次关系； $a$ 是非零实数时才定出 $z + \overline{z}$
乘积的模，如 $∣ z^{n} ∣$	用 $∣ uv ∣ = ∣ u ∣∣ v ∣$
四个复数，有 $a \overline{c} + b \overline{d}$ 和 $a d - b c$	用恒等式（见进阶“两组复数”）
条件是两个复数的齐次式	先讨论它们都为零的情况，再除以不为零的那个，设比值（见进阶“两组复数”）

三、怎么用

把目标写成模的平方。例如 $∣ u ∣ = 1, ∣ v ∣ = 2, ∣ u + v ∣ = 2$ ，求 $∣2 u + v ∣$ ，先求 $∣2 u + v ∣^{2}$ 。
写成 $w \overline{w}$ 展开。 $∣ u + v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} + u \overline{v} + \overline{u} v$ 。
代入已知，求交叉项。 $4 = 1 + 4 + (u \overline{v} + \overline{u} v)$ ，所以 $u \overline{v} + \overline{u} v = - 1$ 。
算目标，开方。 $∣2 u + v ∣^{2} = (2 u + v) (2 \overline{u} + \overline{v}) = 4∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} + 2 (u \overline{v} + \overline{u} v) = 4 + 4 - 2 = 6$ ， $∣2 u + v ∣ = 6$ 。
检查。取 $v = 2$ ， $u = - \frac{1}{4} + \frac{15}{4} i$ ： $∣ u ∣ = 1$ ， $∣ u + v ∣^{2} = \frac{49}{16} + \frac{15}{16} = 4$ ， $∣2 u + v ∣^{2} = \frac{9}{4} + \frac{15}{4} = 6$ 。

四、再做一道

例 2：两个距离确定复数

复数 $z$ 满足 $∣ z ∣ = 5, ∣ z - 2 - i ∣ = 2$ ，求 $z$ 。

怎么看出来：

展开第 $2$ 个模得到一个一次关系，再和 $∣ z ∣^{2}$ 联立。两个圆可能有两个交点，所以要解到底。

解：

记 $a = 2 + i$ ， $∣ a ∣^{2} = 5$ 。 $∣ z - a ∣^{2} = ∣ z ∣^{2} + ∣ a ∣^{2} - (\overline{a} z + a \overline{z})$ ，代入得 $2 = 5 + 5 - (\overline{a} z + a \overline{z})$ ，所以 $\overline{a} z + a \overline{z} = 8$ 。设 $z = x + y i$ ， $\overline{a} z = (2 - i) (x + y i)$ 的实部是 $2 x + y$ ，而 $\overline{a} z + a \overline{z} = 2 Re (\overline{a} z)$ ，所以 $2 x + y = 4$ 。代入 $x^{2} + y^{2} = 5$ ： $x^{2} + (4 - 2 x)^{2} = 5$ ， $5 x^{2} - 16 x + 11 = 0$ ， $(x - 1) (5 x - 11) = 0$ 。 $x = 1$ 时 $y = 2$ ； $x = \frac{11}{5}$ 时 $y = - \frac{2}{5}$ 。检查： $∣1 + 2 i - 2 - i ∣ = ∣ - 1 + i ∣ = 2$ ； $\frac{1}{5} - \frac{7}{5} i = \frac{50}{25} = 2$ ，两个的模都是 $5$ 。

答案：

$z = 1 + 2 i$ 或 $z = \frac{11}{5} - \frac{2}{5} i$ 。

五、容易错在哪

$z^{2}$ 不等于 $∣ z ∣^{2}$ 。
展开时交叉项是 $u \overline{v}$ ，共轭不能漏。
模相同不代表复数相等。
开方取非负的根；算出负数说明条件有矛盾。
$∣ u + v ∣$ 一般不等于 $∣ u ∣ + ∣ v ∣$ ，只有一项为零，或两项同方向时才相等。

进阶：两组复数

两组复数的恒等式

$∣ a \overline{c} + b \overline{d} ∣^{2} + ∣ a d - b c ∣^{2} = (∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2}) (∣ c ∣^{2} + ∣ d ∣^{2})$ 。展开左边第 $1$ 项： $∣ a ∣^{2} ∣ c ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} ∣ d ∣^{2} + a \overline{c} \overline{b} d + \overline{a} c b \overline{d}$ ；第 $2$ 项： $∣ a ∣^{2} ∣ d ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} ∣ c ∣^{2} - a d \overline{b} \overline{c} - \overline{a} \overline{d} b c$ 。交叉项相互抵消，剩下的就是右边。所以右边的乘积已知时，知道左边一项就能求另一项。第 $2$ 项非负，所以还有 $∣ a \overline{c} + b \overline{d} ∣^{2} \leq (∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2}) (∣ c ∣^{2} + ∣ d ∣^{2})$ ， $a d = b c$ 时取等。

比值换元

条件都是 $z_{1}, z_{2}$ 的齐次式时（比如 $∣ z_{1} - z_{2} ∣ = ∣ z_{1} + z_{2} ∣$ ， $z_{2} \neq = 0$ ），两边除以 $∣ z_{2} ∣$ ，设 $w = \frac{z _{1}}{z _{2}}$ ，得 $∣ w - 1∣ = ∣ w + 1∣$ 。平方展开， $- w - \overline{w} = w + \overline{w}$ ，所以 $Re w = 0$ 。这样两个未知数就变成了一个。

例 3：恒等式给出最大值

复数 $a, b, c, d$ 满足 $∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} = 5$ ， $∣ c ∣^{2} + ∣ d ∣^{2} = 2$ 。求 $∣ a \overline{c} + b \overline{d} ∣$ 的最大值。

怎么看出来：

恒等式里 $∣ a d - b c ∣^{2} \geq 0$ ，所以目标有上界；取等要 $a d = b c$ ，还要找到一组真实的数。

解：

恒等式给 $∣ a \overline{c} + b \overline{d} ∣^{2} + ∣ a d - b c ∣^{2} = 5 \cdot 2 = 10$ 。第 $2$ 项非负，所以 $∣ a \overline{c} + b \overline{d} ∣ \leq 10$ 。取等要 $a d = b c$ 。取 $a = 1, b = 2$ ， $c = \frac{2}{5}, d = 2 \frac{2}{5}$ ： $∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} = 5$ ， $∣ c ∣^{2} + ∣ d ∣^{2} = \frac{2}{5} + \frac{8}{5} = 2$ ， $a d = b c$ 。此时 $a \overline{c} + b \overline{d} = 5 \frac{2}{5} = 10$ 。

答案：

最大值 $10$ 。

例 4：乘积的模和和差

复数 $z, w$ 满足 $∣ z ∣ = 2, ∣ w ∣ = 1$ ， $(z + w) (\overline{z} - \overline{w}) = 3 + 4 i$ 。求 $∣ z + w ∣$ 。

怎么看出来：

两边取模，得到 $∣ z + w ∣∣ z - w ∣$ ；又知道 $∣ z + w ∣^{2} + ∣ z - w ∣^{2}$ 。两个量的和与积都有了。

解：

两边取模： $∣ z + w ∣ \cdot ∣ \overline{z} - \overline{w} ∣ = ∣3 + 4 i ∣ = 5$ ，而 $∣ \overline{z} - \overline{w} ∣ = ∣ z - w ∣$ ，所以 $∣ z + w ∣∣ z - w ∣ = 5$ 。又 $∣ z + w ∣^{2} + ∣ z - w ∣^{2} = 2 \cdot 4 + 2 \cdot 1 = 10$ 。设 $p = ∣ z + w ∣, q = ∣ z - w ∣$ ，则 $(p - q)^{2} = p^{2} + q^{2} - 2 pq = 10 - 10 = 0$ ，所以 $p = q$ ， $p^{2} = 5$ ， $p = 5$ 。检查： $z = 2, w = i$ ， $(2 + i) (2 + i) = 3 + 4 i$ ， $∣2 + i ∣ = 5$ 。

答案：

$5$ 。

真题

按这个方法练 · 14 题

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模都是 $1$ 的复数：倒数就是共轭

$∣ z ∣ = 1$ 时 $z \overline{z} = 1$ ，所以 $\frac{1}{z} = \overline{z}$ 。这样可以消去除法。要判断是不是实数，或求实部，就把目标 $T$ 和 $\overline{T}$ 放在一起算。

完整讲解 · 例题 · 可练 4 题

一、是什么

记号和单位模

复数写成 $z = x + y i$ ，其中 $x, y$ 是实数， $i^{2} = - 1$ 。 $x$ 叫实部，记作 $Re z$ ； $y$ 叫虚部，记作 $Im z$ ，注意虚部是实数 $y$ ，不是 $y i$ 。共轭 $\overline{z} = x - y i$ ，模 $∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$ ，表示点 $(x, y)$ 到原点的距离。 $∣ z ∣ = 1$ 的点在以原点为圆心、半径为 $1$ 的圆上，这样的 $z$ 叫单位复数。 $z \overline{z} = x^{2} + y^{2} = ∣ z ∣^{2}$ ，所以 $∣ z ∣ = 1$ 时 $z \overline{z} = 1$ ，即 $\frac{1}{z} = \overline{z}$ 。例如 $z = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ ， $z \overline{z} = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$ 。模不是 $1$ 时不成立： $∣ z ∣ = 2$ 时 $\overline{z} = \frac{4}{z}$ 。

共轭的规则和判断实数

写开直接算可以验证： $\overline{u + v} = \overline{u} + \overline{v}$ ， $\overline{uv} = \overline{u} \overline{v}$ ， $\overline{u / v} = \overline{u} / \overline{v}$ （ $v \neq = 0$ ）。 $w + \overline{w} = 2 Re w$ 。若 $\overline{w} = w$ ，由 $a - b i = a + b i$ 得 $b = 0$ ，所以 $w$ 是实数。因此证明 $w$ 是实数，只要算出 $\overline{w}$ ，看它是否等于 $w$ 。

实部的关系，不用求虚部

设 $s = z + \overline{z} = 2 Re z$ 。因为 $z \overline{z} = 1$ ，有 $z^{2} + \overline{z}^{2} = (z + \overline{z})^{2} - 2 = s^{2} - 2$ ，所以 $Re z^{2} = 2 (Re z)^{2} - 1$ 。这里只用到实部，不用管虚部的正负。核对 $z = i$ ： $Re z = 0$ ， $z^{2} = - 1$ ，公式给 $2 \cdot 0 - 1 = - 1$ 。

先看一道例题

例 1：判断是不是实数

$∣ z_{1} ∣ = ∣ z_{2} ∣ = 1$ ， $1 + z_{1} z_{2} \neq = 0$ 。证明 $w = \frac{z _{1} + z _{2}}{1 + z _{1} z _{2}}$ 是实数。

怎么看出来：

要证实数，就算 $\overline{w}$ 。共轭后全是倒数，通分就能回到原式。

解：

$\overline{w} = \frac{z _{1} + z _{2}}{1 + z _{1} z _{2}} = \frac{\frac{1}{z _{1}} + \frac{1}{z _{2}}}{1 + \frac{1}{z _{1} z _{2}}}$ 。上下同乘 $z_{1} z_{2}$ （不为零）： $\overline{w} = \frac{z _{2} + z _{1}}{z _{1} z _{2} + 1} = w$ 。所以 $w$ 的虚部是 $0$ 。检查： $z_{1} = 1, z_{2} = i$ 时， $w = \frac{1 + i}{1 + i} = 1$ ，是实数。

答案：

$\overline{w} = w$ ，所以 $w$ 是实数。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
表达式含若干单位复数的倒数或比值	换成共轭： $\frac{1}{z} = \overline{z}$
要证明某个单位复数的式子是实数	算它的共轭，看是否等于自己
单位复数的式子，各次幂对称出现	提出一个 $z$ ，用 $\overline{z} = \frac{1}{z}$ 把剩下的写成 $z + \overline{z}$
已知和的模，求比值的实部	展开模的平方（见进阶“分式和模的平方”）
单位圆上的点到定点的距离	用三角不等式，共线时取等（见进阶“单位圆上的距离”）

三、怎么用

确认所有相关的复数模都是 $1$ 。例如 $∣ z ∣ = 1$ ， $z \neq = - 1$ ，要判断 $T = \frac{z}{1 + z} + \frac{z}{1 + z}$ 的类型。
把倒数和共轭互换，只留一种。 $\overline{z} = \frac{1}{z}$ ，所以 $\frac{z}{1 + z} = \frac{1/ z}{1 + 1/ z} = \frac{1}{z + 1}$ 。
化简，同时保留原来的禁值。 $T = \frac{1}{z + 1} + \frac{z}{z + 1} = \frac{1 + z}{1 + z} = 1$ ，这里需要 $z \neq = - 1$ 。
代回检查。 $z = i$ 时 $\frac{- i}{1 - i} + \frac{i}{1 + i} = \frac{- i ( 1 + i ) + i ( 1 - i )}{2} = \frac{( 1 - i ) + ( i + 1 )}{2} = 1$ 。

四、再做一道

例 2：提出一个 z，化成实部

$∣ z ∣ = 1$ ，求 $∣ z^{2} + z + 1∣$ 的最大值和最小值。

怎么看出来：

三项的次数关于 $z$ 对称。提出一个 $z$ ，括号里出现 $z + \frac{1}{z}$ ，它就是实数 $2 Re z$ 。

解：

$z \neq = 0$ ， $z^{2} + z + 1 = z (z + 1 + \frac{1}{z}) = z (z + \overline{z} + 1) = z (2 x + 1)$ ，其中 $x = Re z$ 。 $∣ z ∣ = 1$ ，所以 $∣ z^{2} + z + 1∣ = ∣2 x + 1∣$ 。 $x$ 取遍 $[- 1, 1]$ ， $2 x + 1$ 取遍 $[- 1, 3]$ ，绝对值的最大值是 $3$ （ $x = 1$ ，即 $z = 1$ ），最小值是 $0$ （ $x = - \frac{1}{2}$ ，即 $z = - \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} i$ ）。检查： $z = 1$ 时 $∣1 + 1 + 1∣ = 3$ ； $z = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ 时 $z^{2} = - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ ，三项和为 $0$ 。

答案：

最大值 $3$ ，最小值 $0$ 。

五、容易错在哪

没有 $∣ z ∣ = 1$ 时，不能把倒数换成共轭。
约分时要保留原来的禁值，化简后的式子有定义，不代表原式有定义。
只求实部时，不必解出每个复数的完整值，虚部的正负可能根本定不下来。
分母可能是零的式子要先排除，例如 $\frac{1}{1 + z}$ 要求 $z \neq = - 1$ 。

进阶：分式和模的平方

化简时不要补回原来的禁值

$∣ z ∣ = 1$ ， $z \neq = 1$ 时， $\frac{z - 1}{z - 1} = \frac{z - 1}{\frac{1}{z} - 1} = \frac{z ( z - 1 )}{1 - z} = - z$ 。化简后的 $- z$ 在 $z = 1$ 时有值，但原式没有定义，所以 $z \neq = 1$ 这个条件不能丢。核对 $z = i$ ： $\frac{i - 1}{- i - 1} = - i$ 。

模的平方里找实部

几个单位复数的和： $∣ z_{1} + z_{2} ∣^{2} = 2 + z_{1} \overline{z_{2}} + \overline{z_{1}} z_{2} = 2 + 2 Re (z_{1} \overline{z_{2}})$ 。又 $\overline{z_{2}} = \frac{1}{z _{2}}$ ，所以 $z_{1} \overline{z_{2}} = \frac{z _{1}}{z _{2}}$ 。这样，比值的实部就能从和的模读出来。同样， $\frac{1}{z _{1}} + \frac{1}{z _{2}} = \overline{z_{1} + z_{2}}$ ，所以倒数的和就是和的共轭。

例 3：和为零，三点成等边三角形

$∣ z_{1} ∣ = ∣ z_{2} ∣ = ∣ z_{3} ∣ = 1$ ， $z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$ 。证明 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 对应的点是等边三角形的顶点。

怎么看出来：

$z_{1} + z_{2} = - z_{3}$ ，模已知。展开模的平方得到 $z_{1} \overline{z_{2}}$ 的实部，再算 $∣ z_{1} - z_{2} ∣$ 。

解：

$∣ z_{1} + z_{2} ∣ = ∣ - z_{3} ∣ = 1$ ，所以 $1 = 2 + 2 Re (z_{1} \overline{z_{2}})$ ， $Re (z_{1} \overline{z_{2}}) = - \frac{1}{2}$ 。于是 $∣ z_{1} - z_{2} ∣^{2} = 2 - 2 Re (z_{1} \overline{z_{2}}) = 3$ ， $∣ z_{1} - z_{2} ∣ = 3$ 。把下标轮换，从 $z_{2} + z_{3} = - z_{1}$ 和 $z_{3} + z_{1} = - z_{2}$ 用一样的计算，也得 $∣ z_{2} - z_{3} ∣ = ∣ z_{3} - z_{1} ∣ = 3$ 。三边都是 $3$ 。

答案：

三边长都是 $3$ ，是等边三角形。

进阶：单位圆上的距离

单位圆上的距离

$∣ z - w ∣$ 是点 $z$ 到点 $w$ 的距离。三角形两边之和不小于第三边，两边之差不大于第三边，所以 $∣ w ∣ - ∣ z ∣ \leq ∣ z - w ∣ \leq ∣ w ∣ + ∣ z ∣$ 。 $w \neq = 0$ 时，圆上的点到定点 $w$ 的最近点和最远点，都在过原点和 $w$ 的直线上。

例 4：到定点的距离

$∣ z ∣ = 1$ ，求 $∣ z - 3 - 4 i ∣$ 的最大值和最小值。

怎么看出来：

这是圆上的点到定点 $w = 3 + 4 i$ 的距离， $∣ w ∣ = 5$ 。用三角不等式，再写出取等的点。

解：

$w = 3 + 4 i$ ， $∣ w ∣ = 5$ 。由 $∣ w ∣ - ∣ z ∣ \leq ∣ z - w ∣ \leq ∣ w ∣ + ∣ z ∣$ ，得 $4 \leq ∣ z - w ∣ \leq 6$ 。取等： $z = \frac{w}{5} = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ 时， $∣ z - w ∣ = \frac{4}{5} w = 4$ ； $z = - \frac{w}{5}$ 时， $∣ z - w ∣ = \frac{6}{5} w = 6$ 。这两个 $z$ 的模都是 $1$ ，确实取得到。

答案：

最大值 $6$ ，最小值 $4$ 。

真题

按这个方法练 · 4 题

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判断复数是实数、纯虚数还是负实数：分出实部和虚部列方程

先把式子化成 $a + b i$ （ $a, b$ 是实数）。实数要 $b = 0$ ；纯虚数要 $a = 0$ 且 $b \neq = 0$ ；负实数要 $b = 0$ 且 $a < 0$ 。分母含 $i$ 时，先乘分母的共轭把分母变成实数。

完整讲解 · 例题 · 可练 11 题

一、是什么

复数的类型

规定 $i^{2} = - 1$ 。 $a + b i$ （ $a, b$ 是实数）中， $a$ 是实部， $b$ 是虚部。两个复数相等，当且仅当实部相等且虚部相等；特别地， $a + b i = 0$ 当且仅当 $a = 0$ 且 $b = 0$ 。 $b = 0$ 时是实数， $a = 0$ 且 $b \neq = 0$ 时是纯虚数， $b = 0$ 且 $a < 0$ 时是负实数。 $0$ 是实数，不是纯虚数，也不是负实数。模是 $∣ a + b i ∣ = a^{2} + b^{2}$ ，共轭是 $\overline{a + b i} = a - b i$ ，虚部变号。

类型条件要查完

设 $w = (a^{2} - 4) + (a^{2} - 3 a + 2) i$ ， $a$ 是实数。要 $w$ 为纯虚数： $a^{2} - 4 = 0$ 得 $a = \pm 2$ ； $a = 2$ 时虚部 $4 - 6 + 2 = 0$ ，此时 $w = 0$ ，舍去； $a = - 2$ 时虚部为 $12$ ，保留。要 $w$ 为负实数： $a^{2} - 3 a + 2 = (a - 1) (a - 2) = 0$ 得 $a = 1$ 或 $2$ ； $a = 1$ 时实部 $- 3 < 0$ ，保留； $a = 2$ 时实部为 $0$ ，舍去。

乘法和分式

按多项式展开，再用 $i^{2} = - 1$ ： $(a + b i) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$ 。分母 $c + d i \neq = 0$ 时，上下同乘它的共轭 $c - d i$ ，分母变成正实数 $c^{2} + d^{2}$ 。例如 $\frac{1 + 2 i}{3 + i} = \frac{( 1 + 2 i ) ( 3 - i )}{9 + 1} = \frac{5 + 5 i}{10} = \frac{1 + i}{2}$ 。

分式的类型只看乘积

设 $v \neq = 0$ ， $\overline{v}$ 是 $v$ 的共轭，则 $\frac{u}{v} = \frac{u v}{∣ v ∣ ^{2}}$ ，分母 $∣ v ∣^{2}$ 是正数。正数除不改变类型，所以 $\frac{u}{v}$ 是实数、纯虚数、负实数，分别等价于 $u \overline{v}$ 是实数、纯虚数、负实数。

未知复数：设 $z = x + y i$ ，分解时别约

未知数是复数时，设 $z = x + y i$ （ $x, y$ 是实数）。虚部方程常能提公因式，如 $y (x^{2} + y^{2} - 1) = 0$ 。这时要分 $y = 0$ 和 $x^{2} + y^{2} = 1$ 两种情况，不能直接约掉 $y$ 。式子里有分母时，同时记下分母不为零的要求。

先看一道例题

例 1：纯虚数加模长条件

复数 $z$ 满足 $\frac{z}{1 + 2 i}$ 是纯虚数，且 $∣ z ∣ = 5$ 。求 $z$ 。

怎么看出来：

有分式和“纯虚数”，先看 $z$ 乘分母共轭。未知的是复数，设实部和虚部。

解：

设 $z = x + y i$ 。分母的共轭是 $1 - 2 i$ ， $z (1 - 2 i) = (x + 2 y) + (y - 2 x) i$ 。纯虚数要求 $x + 2 y = 0$ 且 $y - 2 x \neq = 0$ 。由 $x = - 2 y$ 和 $x^{2} + y^{2} = 5$ 得 $5 y^{2} = 5$ ， $y = \pm 1$ 。于是 $z = - 2 + i$ 或 $z = 2 - i$ ，此时 $y - 2 x = 5 y \neq = 0$ ，符合。检查： $i (1 + 2 i) = - 2 + i$ ，所以 $\frac{- 2 + i}{1 + 2 i} = i$ ； $\frac{2 - i}{1 + 2 i} = - i$ 。若没有模长条件， $z = 0$ 也满足 $x + 2 y = 0$ ，但此时商为 $0$ ，不是纯虚数，所以 $y - 2 x \neq = 0$ 不能省。

答案：

$z = - 2 + i$ 或 $z = 2 - i$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
某个式子是实数、纯虚数或负实数	化成 $a + b i$ ，分别写虚部方程和实部条件
分母含 $i$	乘分母共轭，或只看 $u \overline{v}$
说纯虚数	实部为零之外，还要查虚部不为零
说负实数	虚部为零之外，还要查实部严格小于零
未知的是复数 $z$ ，给两个条件	设 $z = x + y i$ ，列两个实数方程
“存在实数 $t$ ”，求另一个参数的范围	解成 $t$ 的表达式，配方求值域（见进阶“实参数的存在性”）
系数含 $i$ 的方程有实根	设实根，分开实部虚部（见进阶“方程有实根”）
式子里同时有 $z$ 和 $\overline{z}$	用 $z \overline{z} = ∣ z ∣^{2}$ 化简（见进阶“共轭化简”）

三、怎么用

写出分母不为零的要求，分母含 $i$ 就乘共轭。例如实数 $a$ 使 $\frac{1 + i}{a - i}$ 是负实数： $a$ 是实数，分母虚部为 $- 1$ ，不会为零；上下同乘 $a + i$ ，分母变成 $a^{2} + 1$ 。
展开分子，分出实部和虚部。 $(1 + i) (a + i) = (a - 1) + (a + 1) i$ 。
按类型写方程。负实数要虚部为零： $a + 1 = 0$ ， $a = - 1$ 。
查严格条件。 $a = - 1$ 时实部 $\frac{a - 1}{a ^{2} + 1} = \frac{- 2}{2} = - 1 < 0$ ，符合。
代回原式。 $\frac{1 + i}{- 1 - i} = - 1$ ，确实是负实数。

四、再做一道

例 2：分母含未知数

复数 $z$ 的虚部是正数， $z + \frac{1}{z}$ 是实数，且 $∣ z - 1∣ = 1$ 。求 $z$ 。

怎么看出来：

$\frac{1}{z}$ 要乘共轭化简。虚部方程能提公因式 $y$ ，题目又给了 $y > 0$ ，这个因子不会为零。

解：

设 $z = x + y i$ ， $y > 0$ ，所以 $z \neq = 0$ ，分母有意义。 $\frac{1}{z} = \frac{x - y i}{x ^{2} + y ^{2}}$ ，所以 $z + \frac{1}{z}$ 的虚部是 $y - \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}} = y (1 - \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}})$ 。它为零，且 $y \neq = 0$ ，得 $x^{2} + y^{2} = 1$ 。由 $∣ z - 1∣ = 1$ 得 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ ，展开为 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 1 = 1$ ，代入 $x^{2} + y^{2} = 1$ 得 $x = \frac{1}{2}$ 。于是 $y^{2} = \frac{3}{4}$ ，由 $y > 0$ 得 $y = \frac{3}{2}$ 。检查： $∣ z ∣ = 1$ ， $\frac{1}{z} = \overline{z}$ ，所以 $z + \frac{1}{z} = 2 x = 1$ ，是实数； $z - 1 = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ ，模为 $1$ 。

答案：

$z = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ 。

五、容易错在哪

$0$ 不是纯虚数。只写实部为零而不查虚部，会把使整个式子等于 $0$ 的参数算进去。
负实数必须虚部为零且实部严格小于零。实部为负但虚部不为零的数不是负实数，复数也不能比大小。
判别式只对实系数方程判断实根。系数含虚数时要分开实部虚部。
分母为零的值不能取。乘共轭之后分母消失，这个要求要在开头记下。
求范围时要说明端点和中间的值都能取到。被条件排除的参数值，它对应的结果可能还能由别的参数值取到。

进阶：实参数的存在性 · 先修：本卡基础部分

参数存在：先把条件写成参数表达式

“存在实数 $t$ 使……”要先由条件解出所求量和 $t$ 的关系，再求这个表达式能取到哪些值。例如 $a = t^{2} - 2 t + 3 = (t - 1)^{2} + 2$ ，平方非负，所以 $a \geq 2$ ， $t = 1$ 时取到 $2$ ；任给 $a \geq 2$ ，取 $t = 1 + a - 2$ 都能取到这个值。若条件还排除了某个 $t$ ，要看被排除的值能不能由别的 $t$ 给出。

例 3：存在实参数，求范围

设 $a$ 是实数。若存在实数 $t$ ，使 $(t + i) (t - 2 + a i)$ 是纯虚数，求 $a$ 的取值范围。

怎么看出来：

实部为零给出 $a$ 关于 $t$ 的表达式；虚部不为零会排除某个 $t$ ，要看这个 $t$ 对应的 $a$ 是否还能取到。

解：

展开得实部 $t (t - 2) - a$ ，虚部 $t a + t - 2$ 。实部为零得 $a = t^{2} - 2 t$ 。代入虚部： $t (t^{2} - 2 t) + t - 2 = t^{3} - 2 t^{2} + t - 2 = (t - 2) (t^{2} + 1)$ ，不为零当且仅当 $t \neq = 2$ 。所以 $a = t^{2} - 2 t = (t - 1)^{2} - 1$ ，其中 $t \neq = 2$ 。平方非负，所以 $a \geq - 1$ ， $t = 1$ 时 $a = - 1$ 。被排除的 $t = 2$ 给出 $a = 0$ ，但 $t = 0$ 也给出 $a = 0$ ，所以 $a = 0$ 仍能取到。任给 $a \geq - 1$ ，取 $t = 1 - a + 1 \leq 1$ ，它不等于 $2$ ，且 $t^{2} - 2 t = a$ 。检查： $a = - 1, t = 1$ 时乘积为 $(1 + i) (- 1 - i) = - 2 i$ ； $a = 0, t = 0$ 时乘积为 $i \cdot (- 2) = - 2 i$ 。

答案：

$a \geq - 1$ 。

进阶：方程有实根 · 先修：本卡基础部分

系数含虚数的方程有实根

系数含虚数时，判别式通常不能判断实根： $x^{2} + i x = 0$ 的判别式是 $- 1$ ，却有实根 $0$ 。正确做法是设实根 $x$ ，代入后整理成 $A + B i = 0$ （ $A, B$ 是实数），由 $A = 0$ 和 $B = 0$ 同时成立求解。若虚部方程能分解，如 $b (x - 1) = 0$ ，要分 $b = 0$ 和 $x = 1$ 讨论。

实根表示后求最小值

解出 $z$ 用实根 $x$ 表示后， $∣ z ∣^{2}$ 常含 $t + \frac{c}{t}$ 这种和，其中 $c > 0$ 。当 $t > 0$ 时，由 $(t - c / t)^{2} \geq 0$ 展开得 $t + \frac{c}{t} \geq 2 c$ ， $t = c$ 时取等号。 $t$ 必须是正数： $t = - 1, c = 1$ 时左边是 $- 2$ ，小于 $2$ 。例如 $x \neq = 0$ 时 $t = x^{2} > 0$ ， $2 x^{2} + \frac{8}{x ^{2}} = 2 (t + \frac{4}{t}) \geq 8$ ， $x^{2} = 2$ 时取等号。

例 4：有实根时求实部范围

复数 $z$ 使方程 $x^{2} + z x + 4 + 4 i = 0$ 有实根。求 $z$ 的实部的取值范围。

怎么看出来：

系数含 $i$ ，不能用这个方程的判别式。设 $z = p + q i$ ，把实根代入后分开。分开后的实部方程是实系数方程，才能用判别式。

解：

设 $z = p + q i$ ，实根为 $x$ 。代入整理得 $(x^{2} + p x + 4) + (q x + 4) i = 0$ ，所以 $x^{2} + p x + 4 = 0$ ， $q x + 4 = 0$ 。第 1 个方程是实系数方程，有实根要求 $p^{2} - 16 \geq 0$ ，所以 $p \leq - 4$ 或 $p \geq 4$ 。反过来，任给这样的 $p$ ， $x^{2} + p x + 4 = 0$ 有实根 $x$ ；两根之积是 $4$ ，所以 $x \neq = 0$ ；取 $q = - \frac{4}{x}$ ，两个方程都成立。检查： $p = 4$ 时 $x = - 2, q = 2$ ， $z = 4 + 2 i$ ，原方程左边 $4 - 8 - 4 i + 4 + 4 i = 0$ 。

答案：

$z$ 的实部 $\leq - 4$ 或 $\geq 4$ 。

进阶：共轭化简 · 先修：本卡基础部分

用共轭判断类型

$z$ 是实数当且仅当 $\overline{z} = z$ ； $z$ 是纯虚数当且仅当 $\overline{z} = - z$ 且 $z \neq = 0$ 。含 $\overline{z}$ 的分式常用 $z \overline{z} = ∣ z ∣^{2}$ 化简： $z \neq = 0$ 时 $\frac{z}{z} = \frac{z ^{2}}{∣ z ∣ ^{2}}$ ，分母是正数，只需看 $\overline{z}^{2}$ 的类型。

例 5：共轭分式

复数 $z$ 满足 $\frac{z}{z}$ 是纯虚数，且 $∣ z ∣ = 2$ 。求 $z$ 。

怎么看出来：

分母是 $z$ ，分子是它的共轭，用 $z \overline{z} = ∣ z ∣^{2}$ 把分母变成正数。

解：

$∣ z ∣ = 2$ ，所以 $z \neq = 0$ 。 $\frac{z}{z} = \frac{z ^{2}}{∣ z ∣ ^{2}} = \frac{z ^{2}}{2}$ 。设 $z = x + y i$ ， $\overline{z}^{2} = (x^{2} - y^{2}) - 2 x y i$ 。纯虚数要求 $x^{2} = y^{2}$ 且 $x y \neq = 0$ 。由 $x^{2} + y^{2} = 2$ 得 $x^{2} = y^{2} = 1$ ，此时 $x y = \pm 1 \neq = 0$ 。所以 $x, y$ 各取 $\pm 1$ 。检查： $\frac{1 - i}{1 + i} = \frac{( 1 - i ) ^{2}}{2} = - i$ 。

答案：

$z = \pm 1 \pm i$ ，共 $4$ 个。

真题

按这个方法练 · 11 题

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复数方程的根：不逐个求根，用系数算和、积与模

根的和、积、两两乘积可以直接从系数读出来，不必解方程。系数全是实数时，虚根成对共轭，一对共轭根的积等于模的平方。系数里有虚数时，共轭成对不一定成立。

完整讲解 · 例题 · 可练 9 题

一、是什么

复数记号

规定 $i^{2} = - 1$ 。形如 $a + b i$ （ $a, b$ 是实数）的数叫复数， $a$ 叫实部， $b$ 叫虚部； $b \neq = 0$ 时叫虚数。把虚部变号得到共轭： $\overline{a + b i} = a - b i$ 。模是 $∣ a + b i ∣ = a^{2} + b^{2}$ 。两者相乘得 $(a + b i) (a - b i) = a^{2} + b^{2}$ ，所以 $z \overline{z} = ∣ z ∣^{2}$ 。例如 $z = 3 + 4 i$ ： $z \overline{z} = 9 + 16 = 25$ ， $∣ z ∣ = 5$ 。

根与系数的关系：从展开式读出来

展开得 $(x - r) (x - s) = x^{2} - (r + s) x + rs$ ， $(x - r) (x - s) (x - t) = x^{3} - (r + s + t) x^{2} + (rs + s t + t r) x - rs t$ 。在复数范围内， $n$ 次多项式（ $n \geq 1$ ）总能拆成 $n$ 个一次因式，重根重复写。对照系数： $x^{2} + p x + q = 0$ 有 $r + s = - p, rs = q$ ； $x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0$ 有 $r + s + t = - a, rs + s t + t r = b, rs t = - c$ 。符号一负一正交替。首项系数不是 $1$ 要先除掉： $2 x^{2} - 6 x + 5 = 0$ 变成 $x^{2} - 3 x + \frac{5}{2} = 0$ ，和是 $3$ ，积是 $\frac{5}{2}$ 。缺的项系数按 $0$ 算： $x^{3} - 2 x + 1 = 0$ 的 $x^{2}$ 系数是 $0$ ，三根和为 $0$ 。这些关系对复数系数也成立。

实系数：虚根成对共轭

共轭有两条运算规则： $\overline{u + v} = \overline{u} + \overline{v}$ ， $\overline{uv} = \overline{u} \cdot \overline{v}$ ；实数的共轭是它自己。所以当多项式 $f$ 的系数全是实数时，对 $f (r) = 0$ 两边取共轭得 $f (\overline{r}) = 0$ ： $r$ 是根， $\overline{r}$ 也是根。一对共轭根合并成实系数二次式： $(x - (a + b i)) (x - (a - b i)) = x^{2} - 2 a x + a^{2} + b^{2}$ 。例如 $1 + 2 i$ 和 $1 - 2 i$ 合并成 $x^{2} - 2 x + 5$ 。系数里有虚数时这条不成立： $x^{2} - (1 + i) x + i = (x - 1) (x - i)$ 有根 $i$ ，却没有根 $- i$ 。

虚根的模等于什么

设 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的系数都是实数， $a \neq = 0$ ，且有虚根 $r$ 。另一根就是 $\overline{r}$ ，所以 $∣ r ∣^{2} = r \overline{r} = \frac{c}{a}$ 。两根的模相等。这个结论要求两根确实是虚根： $x^{2} - 5 x + 5 = 0$ 的判别式是 $5 > 0$ ，两根是不相等的正实数，积是 $5$ ，但每个根的平方都不等于 $5$ 。

实系数二次方程什么时候有虚根

$a, b, c$ 是实数且 $a \neq = 0$ 时， $a x^{2} + b x + c = 0$ 有虚根当且仅当判别式 $Δ = b^{2} - 4 a c < 0$ 。方程含参数时，由模或积求出参数后，一定回到这一条检查根是不是虚根。

已知和与积，反写方程

若 $r + s = S, rs = P$ ，则 $r, s$ 是 $t^{2} - St + P = 0$ 的两根，因为 $t^{2} - St + P = (t - r) (t - s)$ 。 $S, P$ 是实数且 $S^{2} < 4 P$ 时， $r, s$ 是一对共轭虚根。例如 $S = 4, P = 13$ ： $t^{2} - 4 t + 13 = 0$ 的判别式是 $- 36$ ，两根是 $2 \pm 3 i$ 。

先看一道例题

例 1：已知一个虚根，求其余

实数 $a, b$ 使方程 $x^{3} + a x^{2} + b x - 10 = 0$ 有根 $1 + 2 i$ 。求 $a, b$ 和另外两个根。

怎么看出来：

系数全实，所以共轭根也是根；常数项已知，用三根之积求第 3 个根。

解：

系数全是实数，所以 $1 - 2 i$ 也是根。设第 3 个根为 $t$ 。常数项是 $- 10$ ，三根之积等于 $10$ ，而 $(1 + 2 i) (1 - 2 i) = 5$ ，所以 $5 t = 10$ ， $t = 2$ 。三根之和 $= (1 + 2 i) + (1 - 2 i) + 2 = 4 = - a$ ，所以 $a = - 4$ 。两两乘积之和 $= 5 + 2 \cdot [(1 + 2 i) + (1 - 2 i)] = 5 + 4 = 9 = b$ 。检查： $(x^{2} - 2 x + 5) (x - 2) = x^{3} - 4 x^{2} + 9 x - 10$ ，与原方程一致。

答案：

$a = - 4, b = 9$ ，另两根是 $1 - 2 i$ 和 $2$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
问根的和、积、两两乘积、倒数和	化首项为 $1$ ，直接读系数，不解方程
实系数方程的虚根，问模	$∣ r ∣^{2}$ 等于常数项除以首项系数（二次方程）
已知 $1 + 2 i$ 是实系数方程的根	$1 - 2 i$ 也是根，合并成二次因式
两个复数的和与积已知	反写成二次方程，看它们是不是共轭
方程带参数，又说根是虚数	算完参数回去查 $Δ < 0$
问根的平方和，或 $x_{1}^{n} + x_{2}^{n}$	用和与积表示，或写递推（见进阶“根的幂和与递推”）
方程系数含 $i$ 且有实根	设实根，分开实部虚部（见进阶“系数含虚数的方程”）

三、怎么用

化首项为 $1$ ，并看系数是否全是实数。例如 $3 x^{2} - 12 x + 39 = 0$ 除以 $3$ 得 $x^{2} - 4 x + 13 = 0$ ，系数全实。
写出根与系数的关系。这里 $r + s = 4, rs = 13$ 。
判断根的种类。这里 $Δ = 16 - 52 = - 36 < 0$ ，两根是一对共轭虚根， $s = \overline{r}$ 。
把目标写成和与积。 $∣ r ∣^{2} = r \overline{r} = rs = 13$ ，所以 $∣ r ∣ = 13$ ； $r^{2} + s^{2} = (r + s)^{2} - 2 rs = 16 - 26 = - 10$ 。
求一次根代回检查。 $r = 2 + 3 i$ ： $∣ r ∣^{2} = 4 + 9 = 13$ ； $r^{2} = - 5 + 12 i$ ， $s^{2} = - 5 - 12 i$ ，和为 $- 10$ 。

四、再做一道

例 2：不解方程求模和倒数和

已知 $x = 1$ 是 $2 x^{3} - 6 x^{2} + 8 x - 4 = 0$ 的根。设三个根是 $1, s, u$ 。求 $∣ s ∣$ ，以及 $1 + \frac{1}{s} + \frac{1}{u}$ 。

怎么看出来：

首项系数不是 $1$ ，先除掉。去掉已知根后， $s, u$ 的和与积都能算出来，可以反写方程判断种类。

解：

除以 $2$ 得 $x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 2 = 0$ 。代入 $x = 1$ ： $1 - 3 + 4 - 2 = 0$ ，确实是根。三根和为 $3$ ，所以 $s + u = 2$ 。两两乘积之和为 $4$ ，即 $1 \cdot s + 1 \cdot u + s u = 4$ ，所以 $s u = 2$ 。于是 $s, u$ 是 $t^{2} - 2 t + 2 = 0$ 的两根，判别式 $4 - 8 = - 4 < 0$ ，它们是一对共轭虚根， $∣ s ∣^{2} = s \overline{s} = s u = 2$ ， $∣ s ∣ = 2$ 。三根之积为 $2$ ，都不为 $0$ ，倒数和 $= \frac{s u + s + u}{1 \cdot s u}$ ，分子就是两两乘积之和 $4$ ，分母是三根之积 $2$ ，结果为 $2$ 。检查： $s = 1 + i, u = 1 - i$ ， $\frac{1}{s} + \frac{1}{u} = \frac{s + u}{s u} = 1$ ，再加 $1$ 得 $2$ 。

答案：

$∣ s ∣ = 2$ ，倒数和为 $2$ 。

五、容易错在哪

虚根成对共轭只对实系数方程成立。系数里有虚数时，先检查，不能照搬。
根与系数的关系要先把首项系数化为 $1$ ，符号一负一正交替：三次方程的三根之积是 $- c$ ，不是 $c$ 。
由模或积求出参数后要回去查 $Δ < 0$ 。 $Δ \geq 0$ 时根是实数，“积等于模的平方”不再成立。
$Δ$ 含虚数时不能比大小；就算 $Δ$ 碰巧是实数，系数含虚数时它也不能判断实根。
复数的平方不等于模的平方： $(2 i)^{2} = - 4$ ，而 $∣2 i ∣^{2} = 4$ 。求 $∣ z_{1} - z_{2} ∣$ 这类量时，不能用 $(z_{1} - z_{2})^{2}$ 代替。

进阶：根的幂和与递推 · 先修：本卡基础部分

根的平方和与幂和

由 $(r + s + t)^{2} = r^{2} + s^{2} + t^{2} + 2 (rs + s t + t r)$ 得 $r^{2} + s^{2} + t^{2} = (r + s + t)^{2} - 2 (rs + s t + t r)$ ，右边全能从系数读出。对两个根 $x_{1}, x_{2}$ ，设 $S = x_{1} + x_{2}, P = x_{1} x_{2}$ ，则 $x_{1}, x_{2}$ 都满足 $x^{2} = S x - P$ ，两边乘 $x^{n}$ 得 $x^{n + 2} = S x^{n + 1} - P x^{n}$ 。所以只要 $a_{n} = α x_{1}^{n} + β x_{2}^{n}$ （ $α, β$ 为任意常数），就有 $a_{n + 2} = S a_{n + 1} - P a_{n}$ 。

从数列反过来看根

上面的递推可以反着用。 $a_{n + 1} \neq = 0$ 时 $S = \frac{a _{n + 2} + P a _{n}}{a _{n + 1}}$ ，所以 $P$ 和数列各项都是有理数时， $S$ 也是有理数。再设 $α, β$ 是实数， $x_{1} = u + v i, x_{2} = u - v i$ ， $v \neq = 0$ ，则 $a_{1} = α x_{1} + β x_{2}$ 的虚部是 $(α - β) v$ ； $a_{1}$ 为实数时这个虚部为 $0$ ，得 $α = β$ 。

例 3：平方和不用求根

方程 $x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 3 = 0$ 的三个根为 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 。求 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2}$ ，再求三个根的实部的平方和。

怎么看出来：

第 1 问是对称式。第 2 问里， $z^{2}$ 的实部是 $x^{2} - y^{2}$ ， $∣ z ∣^{2}$ 是 $x^{2} + y^{2}$ ，两式相加可以消去 $y^{2}$ 。

解：

三根和为 $3$ ，两两乘积之和为 $5$ ，所以 $\sum z_{j}^{2} = 9 - 10 = - 1$ （ $\sum$ 表示把各项加起来）。再看第 2 问。试根： $x = 1$ 时 $1 - 3 + 5 - 3 = 0$ ，所以 $x = 1$ 是根。另外两根的和为 $2$ ，积为 $3$ （三根之积为 $3$ ），是 $t^{2} - 2 t + 3 = 0$ 的根，判别式 $- 8 < 0$ ，它们共轭且模的平方都是 $3$ 。所以 $\sum ∣ z_{j} ∣^{2} = 1 + 3 + 3 = 7$ 。设 $z_{j} = x_{j} + y_{j} i$ ，则 $\sum (x_{j}^{2} - y_{j}^{2}) = - 1$ ， $\sum (x_{j}^{2} + y_{j}^{2}) = 7$ ，相加得 $2 \sum x_{j}^{2} = 6$ 。检查：实部是 $1, 1, 1$ ，平方和为 $3$ ；虚部是 $0, \pm 2$ ， $\sum (x_{j}^{2} - y_{j}^{2}) = 3 - 4 = - 1$ ，一致。

答案：

$z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} = - 1$ ，实部的平方和为 $3$ 。

例 4：用递推算幂和

$x_{1}, x_{2}$ 是 $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ 的两根， $T_{n} = x_{1}^{n} + x_{2}^{n}$ 。求 $T_{6}$ 。

怎么看出来：

求出根再做 6 次方很麻烦。 $T_{n}$ 是 $α = β = 1$ 的情形，直接用递推。

解：

$S = 2, P = 4$ ，所以 $T_{n + 2} = 2 T_{n + 1} - 4 T_{n}$ 。 $T_{0} = 1 + 1 = 2$ ， $T_{1} = 2$ 。依次得 $T_{2} = 4 - 8 = - 4$ ， $T_{3} = - 8 - 8 = - 16$ ， $T_{4} = - 32 + 16 = - 16$ ， $T_{5} = - 32 + 64 = 32$ ， $T_{6} = 64 + 64 = 128$ 。检查：两根是 $1 \pm 3 i$ ， $(1 + 3 i)^{2} = - 2 + 23 i$ ， $(1 + 3 i)^{3} = - 2 - 6 + (- 23 + 23) i = - 8$ ，所以 $x_{1}^{6} = x_{2}^{6} = 64$ ，和为 $128$ 。

答案：

$T_{6} = 128$ 。

进阶：系数含虚数的方程 · 先修：本卡基础部分

系数含虚数：要实根就分开实部虚部

系数含虚数时， $Δ$ 通常不再能判断实根。 $x^{2} + 2 i x - 1 = (x + i)^{2}$ 的 $Δ = 0$ ，但根 $- i$ 不是实数； $x^{2} + i x = 0$ 的 $Δ = - 1 < 0$ ，却有实根 $0$ 。正确做法：设实根为 $x$ ，它是实数，代入后把左边整理成 $A + B i$ （ $A, B$ 是实数），由 $A = 0$ 和 $B = 0$ 同时成立来求解。

例 5：系数含虚数的实根

证明 $x^{2} - (3 + i) x + 2 + i = 0$ 恰有一个实根，并求两个根。

怎么看出来：

系数含 $i$ ，不能用 $Δ$ 判断，也不能套共轭成对。设实根，分开实部虚部。

解：

设 $x$ 是实数，左边整理成 $(x^{2} - 3 x + 2) + (1 - x) i$ 。要等于 $0$ ，需要 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 且 $1 - x = 0$ 。第 2 式给出 $x = 1$ ，代入第 1 式 $1 - 3 + 2 = 0$ ，成立。所以恰有一个实根 $x = 1$ 。两根之和是 $3 + i$ ，所以另一根是 $2 + i$ ；检查积： $1 \cdot (2 + i)$ 等于常数项。 $2 + i$ 的共轭 $2 - i$ 不是根，这正是系数含虚数造成的。

答案：

实根 $x = 1$ ，另一根 $2 + i$ 。

进阶：含参数查根的种类 · 先修：本卡基础部分

例 6：含参数：模的范围

实数 $a$ 使 $x^{2} - a x + a = 0$ 有两个虚根 $z_{1}, z_{2}$ 。求 $∣ z_{1} ∣$ 的取值范围。

怎么看出来：

虚根的模由积决定，但只有 $Δ < 0$ 时才能这样算，范围也由 $Δ < 0$ 决定。

解：

系数都是实数。有虚根当且仅当 $Δ = a^{2} - 4 a < 0$ ，即 $a (a - 4) < 0$ ，得 $0 < a < 4$ 。此时 $z_{2} = \overline{z_{1}}$ ， $∣ z_{1} ∣^{2} = z_{1} z_{2} = a$ ，所以 $∣ z_{1} ∣ = a$ 。 $a$ 取遍 $(0, 4)$ 时 $a$ 取遍 $(0, 2)$ ；任给 $m \in (0, 2)$ ，取 $a = m^{2}$ 就得到 $∣ z_{1} ∣ = m$ 。端点检查： $a = 0$ 时方程是 $x^{2} = 0$ ， $a = 4$ 时方程是 $(x - 2)^{2} = 0$ ，根都是实数，不符合。

答案：

$0 < ∣ z_{1} ∣ < 2$ 。

真题

按这个方法练 · 9 题

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复数的高次幂：按余数分组，或先算低次幂

$i$ 的幂每 $4$ 次重复一遍，所以指数只看除以 $4$ 的余数。一般复数先算平方、立方，找到简单的数后再拼成高次幂。只问大小时用 $∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}$ 。

完整讲解 · 例题 · 可练 11 题

一、是什么

记号：复数

复数写成 $z = a + b i$ ，其中 $a, b$ 是实数， $i^{2} = - 1$ 。 $a$ 叫实部，记作 $Re z$ ； $b$ 叫虚部，记作 $Im z$ 。 $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ 是模，乘法展开后用 $i^{2} = - 1$ 化简。

$i$ 的幂只看余数

$i^{1} = i, i^{2} = - 1, i^{3} = - i, i^{4} = 1$ 。因为 $i^{4} = 1$ ，所以 $i^{4 q + r} = (i^{4})^{q} i^{r} = i^{r}$ 。把指数除以 $4$ ，余数 $r$ 决定结果，余数为 $0$ 时结果是 $1$ 。例如 $2023 = 4 \times 505 + 3$ ，所以 $i^{2023} = - i$ 。

连续 $4$ 项的和是 $0$

$i^{k} + i^{k + 1} + i^{k + 2} + i^{k + 3} = i^{k} (1 + i - 1 - i) = 0$ ，从任何指数开始都成立。所以幂的和要先数项数，每 $4$ 项抵消一组，只留下不够 $4$ 项的余项，余项从抵消后的下一个指数开始算。注意“幂每 $4$ 次重复”和“和每 $4$ 项抵消”是两件事，结果还要加上余项。

一般复数：先算低次幂

$(1 + i)^{2} = 1 + 2 i - 1 = 2 i$ ， $(1 - i)^{2} = - 2 i$ ，所以 $(1 + i)^{4} = - 4$ ，高次幂可以由此拼出来。比值也先化简： $\frac{1 + i}{1 - i} = \frac{( 1 + i ) ^{2}}{2} = i$ 。如果指数是一个周期的倍数，再结合余数。只有 $∣ z ∣ = 1$ 的非零复数才可能重复： $∣ z ∣ \neq = 1$ 时， $∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}$ 一直变大或变小，不会回到原值。

先看一道例题

例 1：按余数分类

设 $S_{n} = 1 + i + i^{2} + \dots + i^{n}$ 。在 $1 \leq n \leq 100$ 中，有多少个 $n$ 使 $S_{n} = i$ ？

怎么看出来：

每 $4$ 项抵消， $S_{n}$ 的值只和 $n$ 除以 $4$ 的余数有关，把 $4$ 种余数都列出来。

解：

$S_{n}$ 有 $n + 1$ 项，开头的 $1 + i + i^{2} + i^{3} = 0$ 。设 $n = 4 q + r$ ，前 $4 q$ 项抵消，只剩从 $i^{4 q}$ 到 $i^{4 q + r}$ 的 $r + 1$ 项。按余数： $r = 0$ 时 $S_{n} = 1$ ； $r = 1$ 时 $S_{n} = 1 + i$ ； $r = 2$ 时 $S_{n} = 1 + i - 1 = i$ ； $r = 3$ 时 $S_{n} = 0$ 。所以 $S_{n} = i$ 当且仅当 $n$ 除以 $4$ 余 $2$ 。 $1$ 到 $100$ 中这样的数是 $2, 6, 10, \dots, 98$ ，共 $\frac{98 - 2}{4} + 1 = 25$ 个。检查： $S_{2} = 1 + i - 1 = i$ ， $S_{6} = S_{2} + i^{3} + i^{4} + i^{5} + i^{6} = i + (- i + 1 + i - 1) = i$ 。

答案：

$25$ 个。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$i$ 的很大的指数，如 $i^{2023}$	指数除以 $4$ ，只看余数
$i$ 的连续幂的和，如 $i^{3} + i^{4} + \dots + i^{9}$	数项数，每 $4$ 项抵消，再算余项
$1 + i$ 或 $1 - i$ 的高次幂，或 $\frac{1 + i}{1 - i}$	先算平方： $(1 + i)^{2} = 2 i$ ， $(1 - i)^{2} = - 2 i$ ；比值先化成 $i$
只问 $∣ z^{n} ∣$ 或两个幂的模的大小	用 $∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}$ ，平方后比精确值（见进阶“模的增长”）
$(0 n) + (1 n) z + \dots$ 或隔项取符号的组合数和	还原成 $(1 + z)^{n}$ （见进阶“二项式和单位根”）
$x^{n} = 1$ ，要算 $x$ 的多项高次式	分 $x = 1$ 与否，用连续 $n$ 项和为 $0$ （见同一进阶）
$x + \frac{1}{x} = c$ ，要算 $x$ 的高次式	乘 $x$ 得二次方程降次，先试能否得到某个幂等于 $\pm 1$ （见同一进阶）

三、怎么用

先把底数化简，找周期。例如求所有整数 $N \geq 3$ ，使 $i^{3} + i^{4} + \dots + i^{N} = 1$ ：底数已经是 $i$ ， $i^{4} = 1$ 。
数项数并分组：指数从 $3$ 到 $N$ ，共 $N - 2$ 项，每连续 $4$ 项的和是 $0$ ，所以和只取决于 $N - 2$ 除以 $4$ 的余数。
列出每种余数的余项，余项从 $i^{3}$ 的位置开始：余 $0$ 时和为 $0$ ；余 $1$ 时为 $- i$ ；余 $2$ 时为 $- i + 1$ ；余 $3$ 时为 $- i + 1 + i = 1$ 。
按题目要求选分支：和为 $1$ 当且仅当 $N - 2$ 除以 $4$ 余 $3$ ，即 $N$ 除以 $4$ 余 $1$ 。又 $N \geq 3$ ，所以 $N = 5, 9, 13, \dots$ 。
代值检查： $N = 5$ 时 $- i + 1 + i = 1$ ； $N = 6$ 时再加 $i^{6} = - 1$ ，和为 $0$ ，不符合。

四、再做一道

例 2：低次幂拼成高次幂

求所有正整数 $n$ ，使 $(1 + i)^{n}$ 是实数；其中哪些 $n$ 使它是正实数？

怎么看出来：

$(1 + i)^{2} = 2 i$ ，所以按 $n$ 的奇偶分开，高次幂化成 $i$ 的幂。

解：

设 $n = 2 m$ （偶数）： $(1 + i)^{n} = (2 i)^{m} = 2^{m} i^{m}$ 。它是实数当且仅当 $i^{m}$ 是实数，即 $m$ 是偶数，所以 $n$ 是 $4$ 的倍数。设 $n = 2 m + 1$ （奇数）： $(1 + i)^{n} = 2^{m} i^{m} (1 + i)$ ， $i^{m} (1 + i)$ 只能是 $1 + i, - 1 + i, - 1 - i, 1 - i$ ，虚部都不为零，不是实数。所以 $n = 4 p$ （ $p$ 是正整数），此时 $(1 + i)^{n} = (- 4)^{p}$ ， $p$ 是偶数时为正， $p$ 是奇数时为负。检查： $(1 + i)^{4} = - 4$ ， $(1 + i)^{8} = 16$ 。

答案：

$n$ 是 $4$ 的倍数时是实数； $n$ 是 $8$ 的倍数时是正实数。

五、容易错在哪

幂每 $4$ 次重复，不等于和每 $4$ 项就结束。求和时要数清项数，算出余项。
求和的项从哪个指数开始要看清。 $i + i^{2} + \dots$ 与 $1 + i + \dots$ 的项数和余项都不同。
$∣ z ∣ \neq = 1$ 的非零复数，幂的模持续变化，不存在周期。只问模的大小时，直接比模，不必找周期。
比较模时不要用小数近似判断临界指数，平方后比精确值，临界点才可靠。
$x^{n} = 1$ 时要分开讨论 $x = 1$ ，因为连续 $n$ 项和只有 $x \neq = 1$ 时才是 $0$ 。

进阶：模的增长 · 先修：本卡基础部分

模的幂

由 $∣ uv ∣ = ∣ u ∣∣ v ∣$ 得 $∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}$ 。所以只问大小时，不必算出 $z^{n}$ 。比较时尽量避开小数： $∣ z ∣ = m$ 时， $∣ z^{n} ∣^{2} = m^{n}$ ， $m, n$ 是正整数时它是整数，两边平方后比精确值。两边都非负，平方不改变大小关系。

例 3：模的比较

设 $z = 2 + i$ ， $u = 1 + 3 i$ 。求使 $\frac{u ^{n}}{z ^{n}} \geq 1000$ 的最小正整数 $n$ 。

怎么看出来：

只问模，不必算大幂。两边平方就全是整数，不用小数。

解：

$∣ z ∣^{2} = 5$ ， $∣ u ∣^{2} = 10$ 。由模的规则， $\frac{u ^{n}}{z ^{n}} = (\frac{∣ u ∣}{∣ z ∣})^{n}$ ，其平方是 $(\frac{10}{5})^{n} = 2^{n}$ 。两边都非负，可以平方，不等式等价于 $2^{n} \geq 1 0^{6}$ 。 $2^{19} = 524288 < 1 0^{6}$ ， $2^{20} = 1048576 \geq 1 0^{6}$ 。 $2^{n}$ 随 $n$ 增大而增大，所以最小的 $n$ 是 $20$ 。

答案：

$n = 20$ 。

进阶：二项式和单位根 · 先修：本卡基础部分，二项式定理

二项式定理：系数加权和还原成幂

$(k n)$ 表示从 $n$ 个不同的东西里选 $k$ 个的选法数，例如 $(2 4) = 6$ 。展开 $(1 + z)^{n}$ 时，每个括号选 $1$ 或 $z$ ，选 $k$ 次 $z$ 的方法有 $(k n)$ 种，所以 $(1 + z)^{n} = (0 n) + (1 n) z + (2 n) z^{2} + \dots + (n n) z^{n}$ 。看到这样的和，先还原成 $(1 + z)^{n}$ 。取 $z = i$ 时， $i^{k}$ 按余数轮换，实部正是 $(0 n) - (2 n) + (4 n) - \dots$ 。一般地，对 $(a + b i)^{n}$ 来说，偶数次的 $i$ 留在实部，奇数次的进虚部。

$x^{n} = 1$ ：除了 $x = 1$ ，连续 $n$ 项和为 $0$

$x^{n} - 1 = (x - 1) (1 + x + \dots + x^{n - 1})$ 。所以 $x^{n} = 1$ 且 $x \neq = 1$ 时， $1 + x + \dots + x^{n - 1} = 0$ ，指数还可以按除以 $n$ 的余数减小。 $x = 1$ 时这个和等于 $n$ ，不是 $0$ ，要分开讨论。由 $x + \frac{1}{x} = c$ 这种条件，先乘 $x$ 得二次方程，用它逐次降次。有时再乘一个因式能得到某个低次幂等于 $\pm 1$ ，例如 $x^{2} - x + 1 = 0$ 乘 $x + 1$ 得 $x^{3} = - 1$ ，这时才能按周期算。不是每个 $c$ 都有周期： $x = 2, c = \frac{5}{2}$ 时， $x$ 的正整数次幂一直变大。

例 4：用二项式展开反求参数

求所有实数 $t$ ，使 $(1 + t i)^{4}$ 的实部为 $0$ 。

怎么看出来：

指数不大，可以直接按二项式定理展开。只要实部，所以只留下 $i$ 的偶数次项。

解：

由二项式定理， $(1 + t i)^{4} = (0 4) + (1 4) t i + (2 4) t^{2} i^{2} + (3 4) t^{3} i^{3} + (4 4) t^{4} i^{4}$ 。 $t$ 是实数，所以第 $1, 3, 5$ 项是实数，第 $2, 4$ 项是虚数。实部是 $1 - 6 t^{2} + t^{4}$ 。设 $s = t^{2} \geq 0$ ， $s^{2} - 6 s + 1 = 0$ ，得 $s = 3 \pm 22$ ，两个都是正数。又 $3 \pm 22 = (2 \pm 1)^{2}$ ，所以 $t = \pm (2 + 1)$ 或 $t = \pm (2 - 1)$ 。检查： $t = 2 - 1$ 时， $(1 + t i)^{2} = 1 - t^{2} + 2 t i = (22 - 2) (1 + i)$ ，再平方得 $(22 - 2)^{2} \cdot 2 i$ ，实部为 $0$ 。

答案：

$t = \pm (2 + 1)$ 或 $t = \pm (2 - 1)$ 。

例 5：非 1 的单位根

$x^{5} = 1$ 且 $x \neq = 1$ 。求 $(1 + x) (1 + x^{2}) (1 + x^{3}) (1 + x^{4})$ 。

怎么看出来：

$x \neq = 1$ ，所以 $1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4} = 0$ 。把指数和为 $5$ 的括号配对，用 $x^{5} = 1$ 降次。

解：

配对： $(1 + x) (1 + x^{4}) = 1 + x + x^{4} + x^{5} = 2 + x + x^{4}$ ， $(1 + x^{2}) (1 + x^{3}) = 1 + x^{2} + x^{3} + x^{5} = 2 + x^{2} + x^{3}$ 。设 $a = x + x^{4}, b = x^{2} + x^{3}$ ，则 $a + b = - 1$ （来自连续 $5$ 项和为 $0$ ）。 $ab = x^{3} + x^{4} + x^{6} + x^{7} = x^{3} + x^{4} + x + x^{2} = - 1$ ，其中用了 $x^{6} = x, x^{7} = x^{2}$ 。所以 $(2 + a) (2 + b) = 4 + 2 (a + b) + ab = 4 - 2 - 1 = 1$ 。检查： $x = 1$ 不满足条件，代入得 $2^{4} = 16$ ，所以结果和 $x \neq = 1$ 确实有关。

答案：

$1$ 。

真题

按这个方法练 · 11 题

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等和方格与“所有选法求和”：消公共项，逐个位置统计

和相等的两条线相减，公共的格子就消掉。把所有选法的结果加起来时，固定一个位置，数它的每个值出现多少次，不用把结果一个个列出来。

完整讲解 · 例题 · 可练 2 题

一、是什么

复数相加：实部、虚部各加各的

$z = a + bi$ 中， $a$ 叫实部， $b$ 叫虚部， $i^{2} = - 1$ 。相加时实部和实部加，虚部和虚部加： $(1 + 2 i) + (3 - i) = 4 + i$ 。本卡只用到加减和乘实数，移项、合并同类项都和实数一样。

两条线有公共格，相减就消掉

把九宫格记作：第一行 $a, b, c$ ，第二行 $d, e, f$ ，第三行 $g, h, k$ 。每行、每列、两条对角线的和都等于同一个数 $S$ 。第一行和对角线 $c, e, g$ 都含 $c$ ，由 $a + b + c = c + e + g$ ，两边减去 $c$ 得 $a + b = e + g$ 。第一行和第二行没有公共格，相减什么也消不掉，所以要挑有公共格的线。

有对角线时，公共和是中心格的 3 倍

过中心的 4 条线是第二行、第二列和两条对角线，它们的和加起来是 $4 S$ 。这 4 条线盖住了全部 9 格，其中 $e$ 被数了 4 次，也就是多数了 3 次，所以 $4 S = (9 格之和) + 3 e$ 。9 格之和等于 3 行之和 $3 S$ ，于是 $4 S = 3 S + 3 e$ ，得 $S = 3 e$ 。这一条要用到两条对角线：第一行 $1, 0, 0$ 、第二行 $0, 0, 1$ 、第三行 $0, 1, 0$ 的行和、列和都是 $1$ ，但 $e = 0$ ， $S \neq = 3 e$ 。

所有选法求和：固定一个位置数次数

第 1 位选 $1$ 或 $i$ ，第 2 位选 $2$ 或 $3$ ，两位相加，共 $4$ 种选法： $3, 4, 2 + i, 3 + i$ ，总和 $12 + 2 i$ 。不列也能算：第 1 位的 $1$ 和 $i$ 各出现 $2$ 次，贡献 $2 (1 + i)$ ；第 2 位的 $2$ 和 $3$ 各出现 $2$ 次，贡献 $2 (2 + 3) = 10$ 。合起来是 $12 + 2 i$ 。这样算成立，是因为有限个数相加可以任意调换次序、重新分组。

“不同的数”要先查重复

两位都选 $1$ 或 $i$ 再相加， $4$ 种选法给出 $2, 1 + i, 1 + i, 2 i$ ，全部加起来是 $4 + 4 i$ 。可是 $1 + i$ 出现了两次，不同的数只有 $3$ 个，它们的和是 $3 + 3 i$ 。题目问“所有不同的数之和”时，重复的数只算 1 次。

先看一道例题

例 1：比较一行和一条对角线

九宫格第一行 $a, b, c$ ，第二行 $d, e, f$ ，第三行 $g, h, k$ ，每行、每列、两条对角线的和都相等。已知 $a = 2, b = i, g = 1 - i$ ，求中心格 $e$ 。

怎么看出来：

已知 $a, b$ 在第一行， $g$ 和 $e$ 在对角线 $c, e, g$ 上，这两条线有公共格 $c$ ，相减正好消掉它。

解：

由 $a + b + c = c + e + g$ ，减去 $c$ 得 $a + b = e + g$ 。所以 $e = a + b - g = 2 + i - (1 - i) = 1 + 2 i$ 。检查：取 $S = 3 e = 3 + 6 i$ ，可填出完整方格：第一行 $2, i, 1 + 5 i$ ；第二行 $7 i, 1 + 2 i, 2 - 3 i$ ；第三行 $1 - i, 2 + 3 i, 4 i$ 。8 条线的和都是 $3 + 6 i$ 。

答案：

$e = 1 + 2 i$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
方格的行、列、对角线和都相等，只给了几个格子	找含公共格的两条线相减，不要把所有格子都解出来
要由已知格求中心格或由中心格求别的格，且方格有对角线条件	用公共和 $S = 3 e$
“所有选法的结果之和”或“所有能表示成……的数之和”	前者固定一个位置数次数；后者是不同的数之和，先证表示唯一，或去掉重复再算
例如 $p_{1} + p_{2}$ ， $p_{1}, p_{2}$ 从 $0, 1$ 中选	结果 $0, 1, 1, 2$ 按选法加是 $4$ ，能表示的数只有 $0, 1, 2$ ，和是 $3$

三、怎么用

看清题型。 $a + b + c = c + e + g$ 这样的等式是比较等和；“第 1 位选 $1$ 或 $i$ 、第 2 位选 $2$ 或 $3$ ，结果全部相加”是所有选法求和。
等和题：挑含公共格的两条线相减。 $a + b + c = c + e + g$ 减去 $c$ ，得 $a + b = e + g$ 。
一次比较不够时，再写一条等式，相加或相减消掉多余的格子。有对角线时可把 $S = 3 e$ 代入： $a + e + k = 3 e$ 给出 $k = 2 e - a$ 。又如 $x - y = 2$ 、 $x + y = 4 i$ 两式相加消去 $y$ ，得 $x = 1 + 2 i$ 。
求和题：固定一个位置数次数。第 1 位的 $1, i$ 各 $2$ 次，贡献 $2 (1 + i)$ ；第 2 位的 $2, 3$ 各 $2$ 次，贡献 $10$ ；总和 $12 + 2 i$ 。
问“不同的数”时查重复。这里 $3, 4, 2 + i, 3 + i$ 互不相同，总和不用改；有重复时，重复的数只留 1 次。

四、再做一道

例 2：取法有重复时求不同的和

从 $1, i, - 1 + i, 2$ 这 $4$ 个数中任取 $2$ 个相加。求所有取法的结果之和，以及所有不同结果之和。

怎么看出来：

“所有结果之和”可以固定一个数数次数；“不同结果”提醒要查重复。

解：

$4$ 个数取 $2$ 个共 $6$ 种取法。固定一个数，它要和另外 $3$ 个数各配一次，所以每个数恰好出现 $3$ 次。 $4$ 个数的和是 $1 + i + (- 1 + i) + 2 = 2 + 2 i$ ，所以所有取法的结果之和是 $3 (2 + 2 i) = 6 + 6 i$ 。再查重复： $6$ 个结果依次是 $1 + i, i, 3, - 1 + 2 i, 2 + i, 1 + i$ （其中 $1 + i$ 既来自 $1$ 加 $i$ ，也来自 $- 1 + i$ 加 $2$ ），只有 $1 + i$ 重复。去掉多算的一次，不同结果之和是 $6 + 6 i - (1 + i) = 5 + 5 i$ 。

答案：

所有取法的结果之和是 $6 + 6 i$ ，所有不同结果之和是 $5 + 5 i$ 。

五、容易错在哪

只求一个格子时，不必解出所有格子。先找含公共格的两条线，往往几步就够。
公共和等于中心格 3 倍要用到两条对角线。只知道行和、列和相等时，不能用这条。
选法的个数不一定等于不同的数的个数。问不同的数时，要证明没有重复，或者把重复的数只算 1 次。
权重逐项减半时，“后面的权重之和小于前面一项”只对有限项成立，无限项时尾和可以恰好相等。

进阶：有限权重与等比相加 · 先修：等比数列的概念

怎样证明不同选法给出不同的数

每个位置从 $1, i$ 中选，权重依次是 $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}$ 时，看两种选法第一个不同的位置。 $1, i$ 的实部相差 $1$ ，所以这个位置造成的实部差，绝对值等于它的权重；后面所有权重之和比它小，例如 $\frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8} < \frac{1}{2}$ ，抵消不了，所以两个结果不相等。这里项数有限是必要的：无限多项时 $\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots$ 恰好等于 $\frac{1}{2}$ ，就可能抵消。

有限个等比项相加

设 $T = \frac{1}{3} + \frac{1}{3 ^{2}} + \dots + \frac{1}{3 ^{N}}$ 。两边乘 $3$ 得 $3 T = 1 + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{3 ^{N - 1}}$ 。相减，中间的项全部抵消， $2 T = 1 - \frac{1}{3 ^{N}}$ ，所以 $T = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3 ^{N}})$ 。检查： $N = 2$ 时 $\frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$ ，公式给出 $\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{9} = \frac{4}{9}$ 。

例 3：由总和反求项数

$N$ 为正整数， $p_{1}, \dots, p_{N}$ 各自从 $1, - 1 + i$ 中选，令 $z = \frac{p _{1}}{3} + \frac{p _{2}}{3 ^{2}} + \dots + \frac{p _{N}}{3 ^{N}}$ 。把所有选法得到的 $z$ 相加，记为 $T$ 。求使 $T$ 的虚部大于 $100$ 的最小 $N$ ，并说明这 $2^{N}$ 种选法给出的 $z$ 互不相同。

怎么看出来：

每个位置两个选择，固定位置数次数；权重逐项变小，用第一个不同的位置说明不会重复。

解：

共 $2^{N}$ 种选法。固定第 $n$ 位，其余位任选，所以这一位的 $1$ 和 $- 1 + i$ 各出现 $2^{N - 1}$ 次，合起来贡献 $2^{N - 1} \cdot i \cdot \frac{1}{3 ^{n}}$ 。各位相加，用等比求和得 $T = 2^{N - 1} i \cdot \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3 ^{N}}) = 2^{N - 2} (1 - \frac{1}{3 ^{N}}) i$ 。虚部随 $N$ 增大而增大。 $N = 8$ 时虚部小于 $2^{6} = 64$ ； $N = 9$ 时虚部是 $128 (1 - \frac{1}{3 ^{9}}) > 100$ 。不重复：两种选法第一个不同的位置记为 $m$ ，这一位造成的实部差绝对值是 $2 \cdot \frac{1}{3 ^{m}}$ ，后面各位造成的实部差绝对值之和最多是 $2 (\frac{1}{3 ^{m + 1}} + \dots + \frac{1}{3 ^{N}}) < 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 ^{m}}$ ，抵消不了，所以两个 $z$ 不相等。

答案：

最小的 $N = 9$ ；不同选法给出的 $z$ 互不相同，所以这个 $T$ 也是所有不同的数之和。

进阶：两步比较

例 4：比较后再用中心格

九宫格的记号和条件同例 1。已知 $a = 2, b = i, g = 1 - i$ ，求右下角 $k$ 。

怎么看出来：

一次比较得不到 $k$ 。先求中心格，再用主对角线和 $S = 3 e$ 。

解：

由例 1， $e = 1 + 2 i$ 。主对角线 $a + e + k = S = 3 e$ ，所以 $k = 2 e - a = 2 + 4 i - 2 = 4 i$ 。检查：第三行 $(1 - i) + (2 + 3 i) + 4 i = 3 + 6 i = S$ 。

答案：

$k = 4 i$ 。

真题

按这个方法练 · 2 题

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误区对照

容易误以为

$z \neq = 0$ ，所以 $1/ z = \overline{z}$ ；取 $z = 2 i$ 得 $1/ z = - 2 i$ 。

应当这样想

一般是 $1/ z = \overline{z} /∣ z ∣^{2}$ 。 $z = 2 i$ 时 $∣ z ∣^{2} = 4$ ，故 $1/ z = - i /2$ ；乘回 $2 i$ 才等于 $1$ 。

为什么

非零只允许做除法；省去模平方还需要单位模条件。

容易误以为

$\frac{z ^{2} + 1}{z - i} = z + i$ ，所以原式在所有复数上有定义。

应当这样想

分子为 $(z - i) (z + i)$ ，约分只在 $z \neq = i$ 时有效。 $z = - i$ 合法且值为零； $z = i$ 仍无定义，不能用化简式给它补值。

为什么

约去的因子非零是等价变形的前提，化简不改变原式定义域。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

真题 · 60 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。

复数的概念与运算

从这里开始

知识要点

方法卡

设 z=x+yi：实部虚部分开列方程，每一支都解到底

一、是什么

记号

为什么能分开

展开和平方

乘积为零：不约，分开解

先看一道例题

例 1：复数的平方根

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：有共轭，两支都要解到底

五、容易错在哪

含模的方程：模是非负实数

模和平方同时出现：先看虚部

例 3：含模，问何时有解

例 4：实数方程无解，复数有解

含三角函数：消元后查范围

例 5：三角参数，用范围定符号

整数坐标：模的平方变成整数的平方和

例 6：高斯整数计数

分母实数化

含共轭的复数式：把 zz 换成 ∣z∣2，比值先取模再定方向

一、是什么

记号：复数、共轭、模

最常用的等式：zz=∣z∣2

共轭和模的运算规则

比值 ww​：先取模，再定方向

先看一道例题

例 1：分式换成共轭

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：比值先取模

五、容易错在哪

用共轭判断实数和纯虚数

单位模：共轭就是倒数

模的平方展开

例 3：单位模的和与积

例 4：用共轭判断实部

求模或距离：把 ∣z∣2 写成 zz，展开后合并

一、是什么

记号和 zz=∣z∣2

模和共轭的运算规则

展开模的平方

最后开方，并看数据能否实现

先看一道例题

例 1：和差的模相等

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：两个距离确定复数

五、容易错在哪

两组复数的恒等式

比值换元

例 3：恒等式给出最大值

例 4：乘积的模和和差

模都是 1 的复数：倒数就是共轭

一、是什么

记号和单位模

共轭的规则和判断实数

实部的关系，不用求虚部

先看一道例题

例 1：判断是不是实数

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：提出一个 z，化成实部

五、容易错在哪

化简时不要补回原来的禁值

模的平方里找实部

例 3：和为零，三点成等边三角形

单位圆上的距离

例 4：到定点的距离

判断复数是实数、纯虚数还是负实数：分出实部和虚部列方程

一、是什么

设 $z = x + y i$ ：实部虚部分开列方程，每一支都解到底

含共轭的复数式：把 $z \overline{z}$ 换成 $∣ z ∣^{2}$ ，比值先取模再定方向

最常用的等式： $z \overline{z} = ∣ z ∣^{2}$

比值 $\frac{w}{w}$ ：先取模，再定方向

求模或距离：把 $∣ z ∣^{2}$ 写成 $z \overline{z}$ ，展开后合并

记号和 $z \overline{z} = ∣ z ∣^{2}$

模都是 $1$ 的复数：倒数就是共轭

未知复数：设 $z = x + y i$ ，分解时别约

$i$ 的幂只看余数

连续 $4$ 项的和是 $0$

$x^{n} = 1$ ：除了 $x = 1$ ，连续 $n$ 项和为 $0$