培玉 · 一试

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2025 年北京预赛

共轭五次根式与五次方程

F3填空题多项式

已知正整数 $m, n$ 满足 $m^{2} - n = 32$ ，且

5 m + n + 5 m - n

是方程

x^{5} - 10 x^{3} + 20 x - 40 = 0

的一个实根，则 $m + n =$ 。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

选两个五次根为u、v，条件使uv=2，展开其和的五次幂正好匹配给定多项式的中间两项，从常数比较定m。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：用低次关系给高次幂降次

专题卡：难算的式子：换元、降次、递推，消去难算的部分