2012 年河北预赛（高二卷） · 第 10 题

解答

取 $C=(0,0,0),B=(2,0,0),A=(1,\sqrt{3},0)$，竖棱高四，故 $M=(1,\sqrt{3},3)$。沿 $C{C}_1$ 展开相邻两侧面，设 $PC=t$，展开的两端水平差为 $t+2$、高差为三。于是 $(t+2{)}^2+9=18$，得到 $t=1$，即 $P$ 是 $BC$ 中点。展开直线走完水平总长三时升高三，在距 $P$ 水平一处穿过 $C{C}_1$，所以 $N=(0,0,1)$。平面 $MNP$ 为 $x-\sqrt{3}y+z=1$。$A_{1}B$ 方向 $(1,-\sqrt{3},-4)$ 与法向量 $(1,-\sqrt{3},1)$ 点积为零，而 $A_1$ 代入左式值为二，不在平面上，故 $\boxed{A_{1}B\Vert \text{平面 }MNP}$。法向量与底面法向量的夹角余弦为 $1/\sqrt{5}$，从而题求锐二面角的正切为 $\boxed{2}$。