2013 年黑龙江预赛 · 第 6 题

解答

三视图表示的组合体可看作：一个半径 $1$、高 $3=2+1$ 的直圆柱，与一个长、宽、高分别为 $2,2,1$ 的长方体相并；长方体靠圆柱一端的端面通过圆柱轴线，二者的公共部分为高 $1$ 的半圆柱。 其正视外轮廓为上宽 $2$、总高 $3$、底宽 $3$ 的台阶形；侧视外轮廓为宽 $2$、高 $3$ 的矩形，底层分界高 $1$；俯视为直径 $2$ 的圆与 $2\times 2$ 矩形相并，矩形左边通过圆心，与已声明的重绘模型相符。

按高度分层，底部高 $1$ 的横截面由一个 $2\times 2$ 矩形和其左侧半径 $1$ 的半圆组成，面积为 $4+\pi /2$；上部高 $2$ 的横截面为半径 $1$ 的整圆，面积为 $\pi$。因此

选 A。按并体体积交叉核对亦得 $3\pi +4-\pi /2$，与分层结果相同。