培玉 · 一试
一试训练题
对非空有限复数集合，定义的“陶模”为。给定整数，设集合。记为的陶模为0的非空子集的个数，为的陶模为1的非空子集的个数。比较和的大小。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
单位根等比和为零；补集对合使零和子集族的总大小等于族数乘n/2。单射计数要求像中能唯一还原原对象与标记，而非只展示一个从源到目标的映射。
想法从哪来：单位根和为零，先把零和子集与其补集配对，能精确算出这些集合大小的总和；为了让配对完整，应暂时把空集也纳入。这个总和在数“零和子集带一个标记元素”的关联对，删除标记后，和值恰变成一个单位向量的负数，模自然为一。要将关联数当成模一子集数的下界，关键是这个删除映射为单射：由新子集的和值可唯一恢复被删的单位根，再恢复原子集。还要排除删成空集，因单元素单位根不可能零和。最后空集使零和族多出的一项变成严格正差，所以结论比非严格比较更强。
先把空集也并入零和子集族，利用整个单位根集合的和为零建立补集对称。再固定一个零和子集中的元素，将它删掉，观察新子集的和及能否从新子集唯一还原；这样可把总关联数压到模为一的子集数上。
解答
设为U的所有元素和为0的子集，包含空集，故。因为，取补集把映到自身。将每个子集与其补集的大小相加为n，可得。对每个，其中，令。则，其模为1，且B非空（单元素集合不可能和为0）。映射是单射，因为给定B可唯一还原，再还原A。因此，从而。
复核
当 时，非空零和子集只有全集，所以 ；三个单元素和三个二元素子集的和都模为1，故 ，严格关系成立。一般证明中删一个元素不可能产生空集，因为单元素单位根之和不为0；反向由像的和值恢复所删元素，才保证注入而非仅有一个映射。
方法总结
子集与补集的大小之和固定，可用对合直接计算整个族的总大小。随后删除一个标记元素，把“子集—元素”关联变为另一类对象；只有恢复标记唯一，才能把关联总数作为像集数量的下界。空集带来的正差正好解释严格性。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需将零和子集的加权总数注入模一子集而非直接比较数量
已记下，谢谢！