2017 年安徽预赛 · 第 6 题

解答

椭圆半轴满足 $a=\sqrt{3},b^2=3/2,c^2=3/2$，故 $e^2=1/2$。焦弦方向角为 $\theta$ 时，两焦半径为 $(b^2/a)/(1\pm e\cos \theta )$，相加得弦长 $L=2(b^2/a)/(1-e^2{\cos }^2\theta )$。对有限斜率 $k$，${\cos }^2\theta =1/(1+k^2)$，所以 $2=2\sqrt{3}(1+k^2)/(1+2k^2)$。解得 $k^2=1+\sqrt{3}$，因此 $\boxed{|k|=\sqrt{1+\sqrt{3}}}$。