2025 年中科大少年班入围考 · 第 7 题

解答

定义域为 $\mathbb{R}$。写成

令 $H(t)=t/\sqrt{1+t^2}$，则 $H^{\prime }(t)>0$，并且

导数的符号因此与

相同。故函数在 $(-\infty ,-5]$ 上递减、在 $[-5,+\infty )$ 上递增，最小值为

有理化得

所以 $x\to +\infty$ 时极限为1，$x\to -\infty$ 时极限为 $-1$。 右侧连续递增分支已取遍 $[-\sqrt{2},1)$，左支没有超出这个范围。因此