专题地图 › 三角函数综合
2017 年全国高中数学联赛一试(B 卷) · 第 4 题
F2填空题三角函数综合
在 △ABC 中,若 sinA=2sinC,且三条边 a,b,c 成等比数列,则 cosA 的值为。
作答
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
解析
思路
先用正弦定理将角关系化为边比,再用等比中项固定第三边,最后应用余弦定理。
解答
由正弦定理,a/c=sinA/sinC=2。因为正边长 a,b,c 成等比数列,b2=ac,故
a:b:c=2:2:1.
于是
cosA=2bcb2+c2−a2=222+1−4=−42.
复核
2<2+1,其余两条三角不等式也成立,因此该边比确实构成非退化三角形。
方法总结
三角函数条件与边长数列条件同时出现时,先统一为边长比,避免在角关系中作不必要的恒等变形。
为什么评为 F2(会透露解法方向)
正弦定理把已知化为边比,等比中项确定第三边后用余弦定理,路线常规。
用到的方法(会透露解法方向)
核心工具:正弦定理与余弦定理
专题卡:边和角混在一起:用正弦、余弦定理统一成一种