同一骨架 2024 年全国高中数学联赛一试（B 卷） 第 3 题 · P007215
两题先把同底指数换成一个正变量，再作整除并平移分母，便出现一个正量与其倒数的和。最值来自同一均值结构，但必须把等号点与平移后的真实范围比较。
系数不同会改变取等位置；二者的平移变量都受严格下界限制，形式上的均值取等不能省去回代。
培玉 · 一试
2026 年北京预赛
F2填空题幂指对
设 ，则
的最小值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
式中只出现 及其平方，令 后做多项式除法，即可化成一正数与其倒数之和。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
令 ，再令 。原式等于
由基本不等式，
等号在 ，即 时成立。此时 ，确有实数 与之对应。因此最小值为
复核
代换 的值域是全体正实数；等号点 位于允许范围内，故所得下界可取到。
方法总结
指数式只含同一底数的若干整次幂时，先令 。分式经整除后若出现 ，应同时检查基本不等式的等号点是否落在代换后的值域内。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
令t=后作常规除法，将目标化为3y+3+9/y，并检查取等点满足y>1即可。
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