垫脚石（相关题 → 此题） 2025 年中科大少年班入围考 第 2 题 · P009778
先从平面内三点求截圆半径，再用球心到截平面垂足的直角关系联结球半径；同一关系可用于上下两底面共球的直棱柱。
前题由已知球半径求截平面距离；后题先用周长与柱体积确定底面外接半径和柱高，球心在中轴中点，不能把底面内切半径拿来代替。
培玉 · 一试
2008 年湖南预赛 · 第 12 题
F2填空题立体几何综合
一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面。已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为 ，则这个球的体积为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先由周长与柱体积求底面外接圆半径和柱高，外球心在柱轴的中点。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
底面正六边形边长为二分之一，面积 ，所以柱高为 。底面外接圆半径为二分之一，外球中心在两底面中心连线的中点，故 。因此 。
复核
正六边形的外接半径等于边长，不是内切半径；直柱使上下对应顶点到中轴中点等距，全部12点同在该球面。
方法总结
直正棱柱的外球半径由底面外接半径与半柱高按勾股组合。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
正六边形周长定外接圆半径，柱体积定高，再以半柱高和底圆半径勾股求外球，关系均标准。
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