培玉 · 一试
2010 年湖南预赛 · 第 10 题
设 为区间 上的连续函数，且恒有 ，可以用随机模拟方法近似计算积分
先产生两组（每组 个）区间 上的均匀随机数 和 ，由此得到 个点 （）。再数出其中满足 （）的点数 ，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
解析
提示
把积分看成单位正方形内曲线下方区域的面积。
思路
命中模拟用落入这个区域的比例估计面积；实施时选择在整个正方形内均匀散布的随机点。
解答
设
固定横坐标 时，区域 的竖直截线长度为 ；由于 连续且非负， 的面积就是 。它包含在面积为 的单位正方形内。
实施这种面积命中模拟时，可以分别独立地生成两坐标的均匀随机数，且每次重新生成， 从而得到在单位正方形内均匀的随机点。对这样生成的点，有
观测到 个点中有 个满足 ，就以命中频率估计这个概率。 所以该随机模拟给出的积分近似值为
这里给出的是面积命中方法的估计式；独立生成坐标是实施该方法的一种合法选择， 并非从“两个坐标各自均匀”断言任意相关的配对方式也都有效。
复核
若 ，每个点都命中，，估计值为 ，与积分相同。 若 ，按上述二维均匀生成方式，命中概率为 ， 所以命中频率的平均值是 ；有限次模拟的结果不必恰好等于真实积分。
方法适用条件不能省略：若取 却人为令 ，两个坐标的边际可以都均匀， 但所有点都命中，得到 ，而真实积分为 。 因此要采用二维均匀散点来实施面积模拟，不能任意配对相关坐标。 这个例子提醒我们正确生成散点，并不改变所问命中频率估计式。
方法总结
先把积分识别成真实区域面积，再用均匀散点的面积比和观测频率相连。回答模拟估计式时，要说明随机点如何生成才适用；不能把边际均匀当作联合均匀，也不能把一次有限模拟当成精确积分。
为什么评为 F1（会透露解法方向）
把非负函数积分识别为单位正方形内的面积，用均匀散点的命中频率估计该面积，并辨明模拟值与精确值、边际均匀与联合均匀的区别。
已记下，谢谢！