2026 年吉林预赛

解答

1. (1)

   设双曲线半焦距为 $c$。由离心率 $e=c/a=2$，

   $$c^2=a^2+b^2=4a^2,$$

   故

   $$b^2=3a^2.$$

   直线 $l$ 的方程为 $y=x+m$。代入双曲线并乘以 $3a^2$，得到交点横坐标满足

   $$3x^2-(x+m{)}^2=3a^2,$$

   即

   $$2x^2-2mx-m^2-3a^2=0.\text{\hspace{1em}(1)}$$

   设 $A,B$ 的横坐标分别为 $u,v$。因为它们都在 $y=x+m$ 上，

   $$\overrightarrow{AP}=(-u,-u),\overrightarrow{PB}=(v,v).$$

   由 $\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}$ 得 $u=-3v$。 另一方面，由 $(1)$ 的根与系数关系，

   $$u+v=m.$$

   所以

   $$u=\frac{3m}{2},v=-\frac{m}{2}.$$

   再比较两根之积，

   $$-\frac{3m^2}{4}=\frac{-m^2-3a^2}{2},$$

   从而

   $$m^2=6a^2.\text{\hspace{1em}(2)}$$

   此时

   $$A=\left(\frac{3m}{2},\frac{5m}{2}\right),B=\left(-\frac{m}{2},\frac{m}{2}\right).$$

   由点积条件，

   $$3=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=-\frac{3m^2}{4}+\frac{5m^2}{4}=\frac{m^2}{2}.$$

   故 $m^2=6$。结合 $(2)$，得

   $$a^2=1,b^2=3.$$

   所以双曲线方程为

   $$\boxed{x^2-\frac{y^2}{3}=1}.$$
2. (2)

   由第一问，右焦点为 $F=(2,0)$。下面证明同一个点

   $$\boxed{M=(-1,0)}$$

   对右支上的任意点 $Q$ 都满足条件。

   设 $Q=(x,y)$，则 $x\ge 1$ 且

   $$y^2=3(x^2-1).$$

   关于 $x$ 轴对称不会改变两个角，故只需考虑 $y\ge 0$。当 $y=0$ 时， $Q=(1,0)$，两个角都为 $0$，等式成立。

   现设 $y>0$，记

   $$\alpha =\angle QFM,\beta =\angle QMF.$$

   由于 $MF$ 沿 $x$ 轴正向，

   $$\tan \beta =\frac{y}{x+1}.$$

   又 $FM$ 沿 $x$ 轴负向，所以按角 $\alpha$ 所在象限理解其正切，有

   $$\tan \alpha =\frac{y}{2-x}.$$

   利用双曲线方程，

   $$\begin{array}{rl}\tan 2\beta & =\frac{2y(x+1)}{(x+1{)}^2-y^2}\\ & =\frac{2y(x+1)}{(x+1{)}^2-3(x^2-1)}\\ & =\frac{2y(x+1)}{2(2-x)(x+1)}=\frac{y}{2-x}=\tan \alpha .\end{array}$$

   当 $x=2$ 时，上式以极限理解，直接有 $\alpha =2\beta =\pi /2$。 此外，

   $${\tan }^2\beta =\frac{3(x-1)}{x+1}<3,$$

   故 $0<2\beta <2\pi /3$；由 $Q$ 在右支上也有 $0<\alpha <2\pi /3$。 在这一长度小于 $\pi$ 的角区间内，正切相同即角相同。因此

   $$\alpha =2\beta ,$$

   即 $\angle QFM=2\angle QMF$。