2018 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 9 题

解答

不妨设 $a<b<c$，记共同函数值为 $h$。函数在 $(0,3]$ 上严格递减，在 $[3,9]$ 上严格递增，在 $(9,+\infty )$ 上严格递减，因此三个不同原像必须分别来自这三个分支。 第一段的最小值为 $0$；中间分支的值域为 $[0,1]$；最后分支的值域为 $(-\infty ,1)$。当 $h=0$ 时，前两分支原像重合于 $3$，故必须且只需 $0<h<1$。 此时三原像恰为

它们分别属于 $(1,3),(3,9),(9,16)$，两两不同。于是

恰取遍 $\boxed{(81,144)}$。