同一骨架 2013 年天津预赛 第 12 题 · P010142
两题都把两个正弦的平方差拆成和角与差角的乘积，再用三角形角和使其中一个因子与已有正弦相同。约去这个正因子后，原来的边角混合条件显露为角差约束。
一个先由边的齐次式用正弦定理转到角，另一个先从角式出发，再将边长等差条件转为正弦关系；进入同一骨架的顺序不同。
培玉 · 一试
2026 年甘肃预赛
等差边三角形的正弦值
F3填空题三角函数综合
三角形 中，角 的对边 成等差数列，且
则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
平方正弦之差可直接化为 ，而 ，从而先确定角差。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
边长等差条件再由正弦定理转化为角的关系。
解答
由恒等式
以及 ，题设等式给出
因为 ，所以
于是
特别地 。
由 成等差数列知 。应用正弦定理，
代入上面的角关系可得
因 ，故
平方后得到
即 。又 ，所以
复核
所得 在 内唯一确定一个 ，并使 、。反代后角和、等差条件和原正弦等式均成立， 没有由平方引入负号分支。
方法总结
角函数条件与边长线性关系并存时，先用和差化积提取角关系，再用正弦定理把边长关系 全部改写为角。平方求值后要依据角所在象限选择根号符号。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
首先需将平方差识别为sin(A+C)sin(A−C)，由此锁定角差90度，再把等差边关系转为可消去的正弦和。
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