2010 年黑龙江预赛 · 第 15 题

解答

右焦点到渐近线 $y=(b/a)x$ 的距离为 $bc/\sqrt{a^2+b^2}=b$，故题设给 $a=b$。缩放取 $a=b=1$，$F=(\sqrt{2},0)$，垂足为 $N=(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})$。垂线是 $x+y=\sqrt{2}$，与 $x^2-y^2=1$ 联立得 $x-y=1/\sqrt{2}$，所以 $M=(3/(2\sqrt{2}),1/(2\sqrt{2}))$。直接相减可见 $\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{MN}$，所以 $\boxed{\lambda =1}$。