2017 年河北预赛 · 第 8 题

解答

缩放棱长为一，取 $A=(0,0,0),B=(1,0,0),D=(0,1,0),A_1=(0,0,1),B_1=(1,0,1),C_1=(1,1,1)$。面 $C_{1}BD$ 为 $x+y-z=1$，所以 $A$ 关于它的反射点为 $P=(2/3,2/3,-2/3)$。直线 $D{B}_1$ 的方向为 $(1,-1,1)$，$A$ 在其上的垂足是 $H=(1/3,2/3,1/3)$，故线反射点 $Q=2H=(2/3,4/3,2/3)$。于是 $PQ$ 方向可取 $(0,1,2)$。面 $A_{1}BD$ 的法向为 $(1,1,1)$，所求正弦为 $\boxed{3/(\sqrt{5}\sqrt{3})=\sqrt{15}/5}$。