2026 年江西预赛

解答

令 $x=m-1\ne 0$，则

把 $x$ 写成最简分数 $p/q$，其中 $p\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$、 $q\in {\mathbb{Z}}_{>0}$ 且 $\gcd (p,q)=1$。若 $3x+49/x$ 为整数，则

分别模 $p$、模 $q$ 考察，并用互素性，得到

反过来，对

的每一种组合，$p/q$ 已是最简分数，且 $3p/q+49q/p$ 确为整数。因此共有 $12$ 个允许的 $x$，它们按 $x$ 与 $-x$ 成对，所有 $x$ 之和为 $0$。 由 $m=1+x$，所有允许的 $m$ 之和为