易混 2008 年陕西预赛 第 15 题 · P010568
几何计数必须区分潜在线对、不同交点与实际切开的区域。多线共点会把许多线对压成一个交点；在有边界的区域内，新弦只有内部不同交点才增加分段，边界切触不应当作内部交叉。
前题分别扣平行线对和被共点合并的线对，并构造其余一般位置；后题先据新增弦的内部交点数分类块数，再反解互异着色数，不能默认一种着色数只对应一个块数。
培玉 · 一试
2013 年河北预赛 · 第 7 题
F2填空题组合计数综合
为 条共面且不同的直线。若其中编号为 （）的直线互相平行，编号为 的直线都过定点 ，则这 条直线的交点个数最多为 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先按直线对给交点上界，再扣掉平行对和共点对造成的损失，最后说明一般位置能同时避免其他损失。
解答
一百条直线最多由 个线对产生交点。二十五条平行线之间的三百对无交点；二十五条过 的直线之间三百个线对只贡献一个交点，另外损失二百九十九。两类线对互不相同，所以交点数至多
可达性如下：选过 的二十五条不同方向直线，再选二十五条共同方向与这些方向都不同、且均不过 的平行线。此五十线恰有六百二十五个两类交点和 ，共六百二十六个。其余五十线逐条选取，每次避开已有的有限交点及有限方向，就分别新增五十至九十九个交点，达到上述数值。
复核
过 的线与平行组的交点不会重合，否则两条不同过点线还会在 外相交，或两条平行线有交点。新增一般位置直线的取法总可避开有限禁点和方向。
方法总结
交点极值以线对容量为起点，分别核平行消失和多线共点的折损，再给同时避免其他重合的构造。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
要把直线对数与不同交点数分开，分别扣除平行和共点重数，并构造没有额外损失的一般位置直线。
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