易混 2022 年全国高中数学联赛一试（A 卷） 第 11 题 · P007198
两题都会先得到简洁的轨迹或区域条件，再依据允许的直线是否真有两个有限交点检查边界。前题候选轨迹上的某些位置让一条焦点弦平行渐近线，必须删点；后题的某些竞争方向变成切线，因不属于割线集合，区域边界反而可以保留。
排除的是失去原题所需配置的点，还是不参与比较的直线方向，取决于题目的量词。不能只看到“退化”就统一删除所有边界。
培玉 · 一试
2026 年广州预赛
过双曲线焦点割线的斜率和轨迹
F3填空题双曲线
已知双曲线
直线 分别过 的左、右焦点， 交 于 两点， 交 于 两点， 与 相交于 。若
则动点 的轨迹方程为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
双曲线的焦点为 。
思路
分别用过焦点直线的斜率作参数，再借助韦达定理直接求 两交点与原点连线的斜率和，最后把两条直线的斜率关系改写为交点坐标关系。
解答
先设两条直线均非竖直，记
设 的横坐标为 。代入双曲线得
由韦达定理，
所以
同理，
题设条件给出
即
两条过不同焦点的直线相交于唯一的点，故 ，从而
设 ，则
于是
即轨迹所在曲线的方程为
复核
当一条直线竖直时，分别与另一条水平线配对可得到轨迹的两个顶点 ，它们仍满足 所列方程。若严格要求每条直线与 有两个有限的不同交点，还应删去
这四个点，因为对应的某条直线斜率为 ，与双曲线渐近线平行，只产生一个有限交点。 这四点必须从轨迹中删除。反之，对曲线上除顶点及这四点外的点，令 ，有，且。 交点方程判别式为，另一式同理，故两焦点直线均有两个不同交点并满足斜率和条件。 两顶点已单独实现，故没有其他漏点或增点。
方法总结
过圆锥曲线定点的动弦问题，可先用直线斜率参数化，再以韦达定理计算交点坐标的对称式。 求轨迹时还要检查竖直线和与渐近线平行的退化情形。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
将两组OA斜率和化成相同有理函数后得到mn=3/4，但最终轨迹还必须排除有一条割线平行渐近线的退化点并补查竖直线。
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