2013 年山西预赛 · 第 5 题

解答

设 $k=\lfloor a\rfloor$、$r=\{a\}\in [0,1)$，则 $a=k+r>0$。等比条件给 $k^2=(k+r)r$。若k=0则a=r>0，而该等式要求r=0，矛盾。因此k为正整数，二次方程的非负根为 $r=k(\sqrt{5}-1)/2$。由r<1知 $1\le k<(1+\sqrt{5})/2$，故k=1，得到 $\boxed{a=(1+\sqrt{5})/2}$。