2018 年辽宁预赛 · 第 11 题

解答

先归纳知 $0<a_n\le 1$，所以递推分母 $n-a_n>0$。令 $b_n=1/a_n$，有 $(n-1)b_{n+1}=n{b}_n-1$，即 $(b_{n+1}-1)/n=(b_n-1)/(n-1)$。由 $b_2=4$ 得 $b_n=3n-2$（$n\ge 2$），且n=1亦成立，故 $\boxed{a_n=1/(3n-2)}$。对 $k\ge 2$，$(3k-2{)}^2-6k(k-1)=3(k-1{)}^2+1>0$，因此当 $n\ge 2$ 时 ${\sum }_{k=1}^n{a}_k^2<1+\frac{1}{6}{\sum }_{k=2}^n(1/(k-1)-1/k)=7/6-1/(6n)<7/6$。$n=1$ 时和为1，也成立。