2020 年中科大少年班初试 · 第 10 题

解答

所求条件等价于 $(f(x)-x)(f(x)+x)\ge 0$。有

因 $f(1)+1=2>0$，由连续性，$x=1$ 左侧足够近处有 $f(x)+x>0$，所以该处必须 $f(x)-x\ge 0$。又 $x-1<0$，从而括号内非正；令 $x\to 1^{-}$，得 $2a+1\le 0$，即 $a\le -1/2$。 下面证明充分性。记临界参数对应的函数为 $f_0(x)=x^3-\frac{1}{2}{x}^2-x+\frac{3}{2}$。若 $a\le -1/2$ 且 $x\in [-1,1]$，则

而

第二式中的二次因子等于 $(x-\frac{3}{4}{)}^2+\frac{15}{16}>0$，故两式在全区间成立。因此 $f(x)\ge f_0(x)\ge \max (x,-x)=|x|$，进而 $|f(x)|\ge |x|$。综上 $\boxed{a\in (-\infty ,-\frac{1}{2}]}$。