同一骨架 2013 年黑龙江预赛 第 6 题 · P009612
处理组合体的并与交时，可以先在同一高度核清实际平面区域，再判断其面积如何随高度变化。前题能分成截面恒定的几层；同轴旋转的共顶点锥体则有共同缩放比例，交集也按这一比例缩放。
一题用分层和重叠体积核并体，另一题先求底面交区再用相似截面提升到空间；投影面积不能未经检验就乘整个高度。
培玉 · 一试
2023 年甘肃预赛
F3填空题立体几何综合
正四面体 的底面 的中心为 ，。以 为轴将正四面体旋转 ，则得到的四面体与原正四面体重合部分的体积为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
两个四面体有同一顶点和同一高，平行于底面的截面始终按同一比例缩放。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
因此体积之比等于两个底面正三角形交集与原底面的面积之比。
解答
设底面正三角形的内切圆半径为 。原底面的三条边与旋转后底面的三条边都与该圆相切。按外法线方向的圆周次序，六条边的相邻法线夹角依次为
因此两个底面的交集是以内切圆半径 为内切圆半径的六边形。
对于内切圆半径为 的切多边形，若相邻两边的外法线夹角为 ，则相应顶点在两条切线上的切线段长为 ，从而多边形面积为
故交集面积为
原正三角形的相邻外法线夹角均为 ，其面积为
所以底面交集与原底面的面积比为
在任一平行于底面的高度处，两个四面体的截面都是上述两个底面的同倍率缩放，故重合体积与原四面体体积也有同一比值。棱长为 的正四面体体积是 ，所以所求体积为
复核
六个法线夹角之和为 ，且交集面积比 位于 内；所得重合体积小于原四面体体积。
方法总结
共顶点、共高的旋转棱锥重合问题可降维到底面交集；切多边形面积可由相邻切线方向角直接求得。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
关键是把空间重合体积化为两旋转底面交集的面积比，再求由交替30与90度法线夹角决定的六边形面积。
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