培玉 · 一试
2016 年河北预赛 · 第 14 题
F4解答题平面几何综合
如图，在等腰 中， 是底边 上一点， 是 上一点，且 、 的外接圆分别交 、 于点 ， 是 的内心。
求证：当 时， 四点共圆。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
点幂：从同一点作两条割线，交点的有向距离乘积相等。这里A的两条割线分别经过P、D和腰上的两圆交点。
想法从哪来：等腰条件首先提供一条对称轴，而E、F分别来自两个辅助圆，很适合从共同顶点A使用点幂：两圆都经过P、D，故沿两腰截出的乘积相同，从而E、F在两腰上的比例相同。这样E、F自动成为一对对称点，复杂的两圆位置被压缩成一个参数。再把P写成AD上的比例点，三个距离的平方就都能由同一参数表达。给定的距离乘积关系在长度正的前提下平方整理，会化成一个固定圆方程。最后只需核内心也在该圆上。注意先检查P不是A或D，才能约去参数，并避免平方后引入端点伪解。
两圆的割线积给出两个边上交点的同一参数，再把乘积条件化成一个过底边两端的圆方程。
解答
归一化取 ，，并设 ，，。记 。对两辅助圆分别作 点幂，得 。因此若 ，则
直接计算
给定等式排除端点 ，故可消去正量，得到
等价地，，即点 满足
等腰三角形内心为 ；代入这个方程得到零， 也满足该式。因此 。
复核
位于底边内部是相关外接圆存在的必要条件；又 ，两个边上交点均在相应边段内，点幂和长度符号一致。消去平方时所涉及的长度均非负，未引入符号错误。
方法总结
先以同一割线积统一两个交点参数，目标共圆可直接由一般圆方程识别。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
两圆点幂先统一边上交点参数，再将长度乘积条件化为圆方程，内心坐标和非零边界都须单独验证。
已记下，谢谢！