同一骨架 2026 年湖南预赛 · P005900
两题都由受限制的幂权重生成一批数，必须先区分参数组与不同结果。利用有限进位表示，或首个不同权重大于剩余可抵消权重，证明表示唯一后，才能按参数对不同结果计数或求和。
前题证明唯一性后按位置汇总总和；后题要先删去不影响结果的参数，再按主项分块排序，并检查块间的次序。
培玉 · 一试
2026 年湖北预赛
二进制权重所得全部复数之和的模
F2填空题复数的概念与运算
设
其中 为虚数单位，。设所有能表示为
形式的数之和为复数 ，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
每个位置都有把权重放入实部或虚部的两种选择。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
对固定的 ，在全部选择中恰有一半 取 、另一半取 ，因此可以交换有限求和次序，逐项汇总对总和 的贡献。
解答
共有 组 。固定一个指标 ，其余 个系数任意选择，因此 与 各出现 次。将所有 可表示的复数相加，并交换两个有限求和的次序，得到
所以
（等价地写成 ）。
复核
不同选择事实上给出不同复数：若在最小指标 处首次不同，则第 项的实部差的 绝对值为 ，而所有更小权重之和严格小于 ，不能抵消。故按全部 组选择汇总与按所有不同可表示复数汇总一致。另有 ，几何级数末项没有遗漏。
方法总结
求所有选择所得表达式的总和时，优先交换求和次序：固定一个位置，统计每个可选系数出现 多少次，再乘以该位置的权重。若题目说“所有能表示的数之和”，还要检查不同表示是否会 重复同一个数。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
有限二进制权重保证各选法给出不同复数，每位置取1与i次数相同，逐位统计后作等比求和并求模。
联系 · 2 条
同一骨架 2024 年内蒙古预赛 · P006557
两题都把“逐个对象求总和”改成“固定一个位置统计贡献”。复数题还须先证明不同系数选择不会表示同一个数，才能把按选择求和转成按不同结果求和；这一步对应子集模型中每个选择本就唯一。
前题的对象是普通子集，后题是带几何权重的复数表达式，后者多出表示唯一性的检验。
已记下，谢谢！