2025 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 4 题

两题都先把函数条件封闭为有限个线性未知量：一个定点导数先记作常数并回到同一点自洽，另一题联立对称输入处的函数值。消元恢复解析式之后，还须把结果送回原条件验证。

导数恒等式通过求导增加一个局部约束；奇偶条件通过输入反射增加一条代数关系，不能混淆额外方程的来源。

两题先利用给定结构消去多余表达，最终把目标化成一个自由实变量上的凹二次式。配方给出的界只有在新变量真实可取遍相应范围时，才能转成原问题的最大值。

一题以对数值为新变量，需核正真数对应的范围；另一题以反射输入关系消元恢复函数，需避免除去特殊输入并回验奇偶性。

两题最后都能看到二次函数顶点，但允许输入的范围不同。全实数范围下顶点直接给全局界；输入已被参数不等式限制时，必须先判断顶点是否进入允许区间，否则最值由端点决定。

配方得到的顶点只是候选取等点。原题约束能否容纳它，是区分两条解题流程的关键。

两题最后都用二次式求最值，但二次变量的可达范围不同。全实数变量可直接检查顶点；三角代换后的变量只在有限像区间中运动，顶点不在该区间时必须比较边界。

“配方完成”不等于“取等完成”。先明确二次变量是原输入还是一个受限的三角函数值，才能决定最值点是否合法。