2010 年湖北预赛 · 第 6 题

解答

该椭圆 $a=2,c=\sqrt{3}$。焦点三角形两腰和为四，底边长 $2\sqrt{3}$，所以半周长为 $s=2+\sqrt{3}$。设内切圆在一条过 $M$ 的边上的切点为 $T$。由切线长关系，$MT=s-F_1{F}_2=2-\sqrt{3}$。内心在角平分线上且 $IT\perp MT$，因此 $MT=MI\cos \theta$。故所求为 $\boxed{2-\sqrt{3}}$。