2017 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 7 题

解答

设 $\mathbf{u}=\overrightarrow{AB}$、$\mathbf{v}=\overrightarrow{AC}$，则

由面积条件，$\frac{1}{2}|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\sin (\pi /3)=\sqrt{3}$，故 $|\mathbf{u}||\mathbf{v}|=4$，$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=2$。于是

等号条件为 $|\mathbf{v}|=\sqrt{3}|\mathbf{u}|$。取 $AB=2/\sqrt[4]{3}$、$AC=2\sqrt[4]{3}$ 且夹角 $\pi /3$，即得到符合条件的非退化三角形。因此最小值为 $\boxed{\sqrt{3}+1}$。