立体几何综合

从这里开始

目标训练建设中。知识要点、方法卡和分级真题已可使用；先从一道真题开始，卡住时逐级看提示，核对后再换题验证。

立体几何综合题常把球、棱锥、棱柱和动点条件放在同一构型中。先确定真正的垂直方向与可以自由选择的坐标，再决定用截面、点积、体积比还是等距方程。最值题不仅要算出数值，还要证明构型能够同时满足全部等号条件；计数题则必须区分不同几何对象与生成它们的参数。

先修（培玉高中数学）：简单几何体的表面积与体积空间直线、平面的垂直空间向量及其运算的坐标表示空间向量的应用

知识要点

垂直关系须区分线线与线面

两条直线都垂直于第三条直线，并不能推出它们相互垂直。例：方向向量 $(1, 0, 0)$ 和 $(1, 0, 1)$ 都垂直于 $(0, 1, 0)$ ，但两者点积为 $1$ 。要证明直线垂直平面，需证明它垂直于该平面内两条相交直线；二面角应在垂直于交棱的截面内量取。

坐标和点积把位置条件写成方程

长方体可沿三条互相垂直的棱建系；斜棱柱则把所有侧棱写成同一平移向量。距离用向量模长，垂足用点积为零，线面距离用法向量。例如点 $(1, 2, 3)$ 到平面 $2 x - y + 2 z = 0$ 的距离为 $∣2 - 2 + 6∣/3 = 2$ 。建系不会把原来不垂直的边变成垂直。

体积是底高乘积，也是行列式

棱锥体积为 $V = S h /3$ ；从同一顶点出发的三向量组成四面体时，体积为其行列式绝对值的六分之一。例：三条互相垂直的棱长为 $2, 3, 4$ ，体积为 $2 \cdot 3 \cdot 4/6 = 4$ 。仿射变换将所有体积乘同一个非零因子，故体积比不变；它通常不保持角和长度。

外接球先定位等距点

包含一个平面内三个不共线点的球，其球心在该三角形外心的法线上。各顶点的等距条件相减后是一次方程。若棱锥顶点在底面外心正上方，高为 $h > 0$ ，底面外接圆半径为 $q$ ，则球心有向高度为 $(h^{2} - q^{2}) / (2 h)$ ，半径为 $(h^{2} + q^{2}) / (2 h)$ 。例： $q = 2, h = 3$ 时半径为 $13/6$ ，球心高度为 $5/6$ 。

内切球依靠到各面的共同距离

多面体确有一个与所有面相切的内切球时，以球心分割成小棱锥，可得 $3 V = r S$ ，其中 $S$ 为总表面积。不可把任意多面体都默认有内切球。例：棱长为 $26$ 的正四面体，其体积为 $83$ 、表面积为 $243$ ，故内切球半径为 $1$ ；求外接球不能套此式。

截面相似与投影分别控制不同量

棱锥中平行底面的截面，线性比例为 $t$ 时面积比例为 $t^{2}$ ，同顶点小棱锥的体积比例为 $t^{3}$ 。例： $t = 1/2$ 时分别为 $1/4$ 和 $1/8$ 。平面图形正投影的面积则乘两平面夹角余弦的绝对值；面积为 $6$ 的图形在夹角 $6 0^{\circ}$ 的平面上投影面积为 $3$ 。不要混用这两种比例。

几何极值先消去尺度，再核定义域

用高度、截面比例或半径表示全部量，再按体积、相似等约束消元。例：体积为 $16 π$ 的闭圆柱满足 $H = 16/ R^{2}$ ，总表面积为 $2 π R^{2} + 32 π / R$ ，在 $R = 2, H = 4$ 时最小，为 $24 π$ 。半径须为正，内接比例须在允许区间；还应验证驻点对应真实可行构型。

质心平方和控制多点的整体分散程度

设 $n$ 点的位置向量为 $x_{i}$ ，平均向量为 $g$ ，则 $\sum_{i < j} ∣ x_{i} - x_{j} ∣^{2} = n \sum_{i} ∣ x_{i} - g ∣^{2} = n \sum_{i} ∣ x_{i} ∣^{2} - n^{2} ∣ g ∣^{2}$ 。例：点 $(1, 0, 0), (- 1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, - 1, 0)$ 的质心为原点，六对距离平方之和为 $16$ 。用球内距离上界估计时，等号还要求质心位置及各距离条件同时成立。

方法卡

建系、分点与正交点积

正交建系后，平移统一表示棱柱，投影用点积求垂足。

完整讲解 · 例题 · 可练 25 题

一、是什么

先认识这些量

棱柱上下底对应点相差同一个平移向量。正交坐标轴互相垂直；斜棱柱的侧棱不一定垂直底面。

为什么这样做

同一个平移向量能保留侧棱倾斜信息。垂足条件是连接向量与所在直线方向点积为零。

先看一道例题

例 1：斜棱柱顶点

棱柱下底 $A = (0, 0, 0), B = (2, 0, 0), C = (0, 1, 0)$ ，上底 $A' = (1, 2, 3)$ ，求 $B'$ 与侧棱长。

怎么看出来：

上下底对应点共用平移。

解：

平移向量 $(1, 2, 3)$ ，故 $B' = (3, 2, 3)$ ，侧棱长 $1 + 4 + 9 = 14$ 。

答案：

$B' = (3, 2, 3)$ ，侧棱长 $14$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
长方体、直棱锥、斜棱柱中出现垂足、异面夹角或分点。	正交建系后，平移统一表示棱柱，投影用点积求垂足。
棱柱下底 $A = (0, 0, 0), B = (2, 0, 0), C = (0, 1, 0)$ ，上底 $A' = (1, 2, 3)$ ，求 $B'$ 与侧棱长。	上下底对应点共用平移。

三、怎么用

沿真正正交方向建系。
斜棱柱写共同平移向量。
垂足或角条件改为点积。
回代全部长度和垂直条件。

四、再做一道

例 2：空间垂足

$P = (2, 3, 4)$ 到横坐标轴的垂足与距离？

怎么看出来：

轴上点仅横坐标可变。

解：

设 $H = (t, 0, 0)$ ， $(P - H) \cdot (1, 0, 0) = 2 - t = 0$ ，所以 $H = (2, 0, 0)$ ，距离 $5$ 。

答案：

$H = (2, 0, 0)$ ，距离 $5$ 。

五、容易错在哪

斜侧棱不能当作竖直轴，两个方向都垂直同一条线也未必互相垂直。

真题

按这个方法练 · 25 题

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等底等高、仿射坐标与体积比

线性分点关系用仿射坐标求体积比，行列式控制三方向共同缩放。

完整讲解 · 例题 · 可练 23 题

一、是什么

先认识这些量

四面体体积为三条同顶点棱向量行列式绝对值的六分之一。仿射变换保持直线和分点比例，体积统一乘行列式绝对值，一般不保角。

为什么这样做

每条棱缩放一个比例时，行列式分别线性，体积比就是三比例相乘。

先看一道例题

例 1：三不同比例

标准四面体顶点为原点与三个坐标单位点，在三条棱上分别取 $1/2, 1/3, 1/4$ 处，求新四面体体积。

怎么看出来：

原体积六分之一，三方向各缩放。

解：

体积比 $1/24$ ，故新体积 $(1/6) (1/24) = 1/144$ 。

答案：

$1/144$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
面内面积比、重心、共线分点和四面体体积比相互牵连。	线性分点关系用仿射坐标求体积比，行列式控制三方向共同缩放。
标准四面体顶点为原点与三个坐标单位点，在三条棱上分别取 $1/2, 1/3, 1/4$ 处，求新四面体体积。	原体积六分之一，三方向各缩放。

三、怎么用

选共同顶点与三棱方向。
写分点或重心的线性组合。
用同底高比或行列式求比。
核绝对值、非退化和原范围。

四、再做一道

例 2：面重心作顶点

同一标准四面体 $O A BC$ ， $G$ 为面 $A BC$ 重心，求 $O A BG$ 体积。

怎么看出来：

重心高度是顶点高度三分之一。

解：

$G = (1/3, 1/3, 1/3)$ ，到平面 $O A B$ 高度 $1/3$ ，原 $C$ 高度 $1$ ，所以体积为 $1/18$ 。

答案：

$1/18$ 。

五、容易错在哪

仿射简化可用于体积比，但不能据此搬用变换后的角或长度。

真题

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等距球心、球面与截圆

外接球心到各顶点等距，平方距离相减能直接解球心。

完整讲解 · 例题 · 可练 29 题

一、是什么

先认识这些量

外接球经过各顶点。四点不共面时唯一确定一个球；若四点共面，不能直接套唯一外接球结论。

为什么这样做

差式消去球心坐标的二次项。由直径端点向量点积为零，还能识别以固定线段为直径的球面。

先看一道例题

例 1：等距球心

求过原点及 $(2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2)$ 的球。

怎么看出来：

三个距离差分别给一个球心坐标。

解：

球心为 $(1, 1, 1)$ ，半径平方 $3$ ，所以球式 $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 3$ 。

答案：

球心 $(1, 1, 1)$ ，半径 $3$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
要求四点外接球，或直角轨迹形成球面后再与平面相交。	外接球心到各顶点等距，平方距离相减能直接解球心。
求过原点及 $(2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2)$ 的球。	三个距离差分别给一个球心坐标。

三、怎么用

检查四点是否不共面。
设球心并将等距平方作差。
回代求正半径。
截圆另用球心到平面的垂距。

四、再做一道

例 2：直径球截圆

$A = (- 1, 0, 0), B = (1, 0, 0)$ ，点 $P$ 满足 $(P - A) \cdot (P - B) = 0$ ，并在 $z = 1/2$ 上，求轨迹。

怎么看出来：

点积展开是单位球。

解：

条件化为 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ ，代平面得 $x^{2} + y^{2} = 3/4$ ，截圆半径 $3 /2$ 。

答案：

$z = 1/2, x^{2} + y^{2} = 3/4$ 。

五、容易错在哪

球心可以在多面体外，不能擅自要求其高度为正或在内部。

真题

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内切球与总体积分割

先确认存在公共内切球，再用体积分割得到半径。

完整讲解 · 例题 · 可练 11 题

一、是什么

先认识这些量

内切球位于多面体内并与每个面相切。以球心连各面分割成小棱锥，所有小锥高都是球半径 $r$ 。若总体积为 $V$ 、总表面积为 $S$ ，则 $V = r S /3$ 。

为什么这样做

各小锥内部不交且填满凸多面体，求和给 $r = 3 V / S$ 。没有共同内切球时，各面高度不相同，不能使用此式。

先看一道例题

例 1：立方体内切球

边长 $2$ 的立方体内切球半径是多少？

怎么看出来：

中心由对称性到六面等距。

解：

$V = 8, S = 24$ ，故 $r = 3 \cdot 8/24 = 1$ ，也等于边长一半。

答案：

$1$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
已知存在内切球，要求球半径、球体积或相关表面积。	先确认存在公共内切球，再用体积分割得到半径。
边长 $2$ 的立方体内切球半径是多少？	中心由对称性到六面等距。

三、怎么用

说明内切球存在。
求总体积和全部面面积。
代入半径公式。
核中心到每个面的垂距相同。

四、再做一道

例 2：正四面体内切球

棱长 $2$ 的正四面体内切球半径是多少？

怎么看出来：

正四面体中心到四面等距。

解：

表面积 $43$ ，高 $2 2/3$ ，体积 $22 /3$ ，故 $r = 3 V / S = 6 /6$ 。

答案：

$6 /6$ 。

五、容易错在哪

表面积必须包括所有面，且不能把侧棱长当作锥高或面斜高。

真题

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垂直截面、平行截面与正投影

选垂棱截面读二面角，平行截面用相似，正投影面积则保留方向倍率。

完整讲解 · 例题 · 可练 18 题

一、是什么

先认识这些量

圆锥平行底面的截圆半径随到顶点距离成比例。平面区域正投影到另一平面，面积乘两平面夹角余弦的绝对值。

为什么这样做

相似截面面积按长度比平方缩放；投影长度与原长不同，不能直接把投影面积当实际面积。

先看一道例题

例 1：圆锥截圆

圆锥底半径 $3$ 、高 $6$ ，在距底面 $2$ 的平行平面截得圆面积是多少？

怎么看出来：

到顶点距离为四。

解：

半径比为 $4/6$ ，截圆半径 $2$ ，面积 $4 π$ 。

答案：

$4 π$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
二面角、圆锥内接、旋转重合或投影面积使三维关系难以直接观察。	选垂棱截面读二面角，平行截面用相似，正投影面积则保留方向倍率。
圆锥底半径 $3$ 、高 $6$ ，在距底面 $2$ 的平行平面截得圆面积是多少？	到顶点距离为四。

三、怎么用

辨认是相似截面还是正投影。
选择真正垂直交棱的截面或共同高度。
写长度比平方或面积投影倍率。
核角度、截面范围与退化。

四、再做一道

例 2：三角形投影

三角形顶点 $(0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 1, 1)$ ，求原面积及到 $z = 0$ 的正投影面积。

怎么看出来：

投影只去掉高度坐标。

解：

原两边叉积模为 $22$ ，面积 $2$ 。投影三点为 $(0, 0), (2, 0), (0, 1)$ ，面积 $1$ ，倍率 $1/ 2$ 。

答案：

原面积 $2$ ，投影面积 $1$ 。

五、容易错在哪

任意截面中的角不能冒充二面角，截面必须垂直公共棱。

真题

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约束消元与几何量最值

先用体积或表面积约束消元，再求一元目标的全局最值并还原构型。

完整讲解 · 例题 · 可练 20 题

一、是什么

先认识这些量

封闭圆柱体积为 $π r^{2} h$ ，总表面积为 $2 π r^{2} + 2 π r h$ 。正参数构成非退化几何体，边界往往只能作为极限。

为什么这样做

资源约束把半径与高联系起来，不能分别优化。配方、均值或导数给界后，仍须检查正性和全部等号条件。

先看一道例题

例 1：圆柱最小表面积

封闭圆柱体积固定为 $2 π$ ，求最小总表面积。

怎么看出来：

用体积先把高表示成半径。

解：

$h = 2/ r^{2}, r > 0$ ，表面积 $2 π (r^{2} + 2/ r)$ 。三个正数 $r^{2}, 1/ r, 1/ r$ 的积为 $1$ ，均值不等式给和至少 $3$ 。 $r = 1, h = 2$ 取等，面积 $6 π$ 。

答案：

$6 π$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
内接或重铸条件把多个半径、高度联系起来，要求最大体积或最小表面积。	先用体积或表面积约束消元，再求一元目标的全局最值并还原构型。
封闭圆柱体积固定为 $2 π$ ，求最小总表面积。	用体积先把高表示成半径。

三、怎么用

选择一个控制所有尺寸的参数。
由原约束消去其余尺寸并列范围。
用导数或不等式给全局界。
回构尺寸，核非退化与资源守恒。

四、再做一道

例 2：方底长方体

底为边长 $a$ 的正方形、总表面积为 $6$ 的封闭长方体，求最大体积。

怎么看出来：

表面积确定高度。

解：

$h = (3 - a^{2}) / (2 a)$ ， $0 < a < 3$ ，体积 $V = (3 a - a^{3}) /2$ 。导数 $3 (1 - a^{2}) /2$ 先正后负，最大在 $a = 1, h = 1$ ，体积 $1$ 。

答案：

$1$ 。

五、容易错在哪

封闭圆柱要包括两个底面，固定体积与固定表面积是不同的消元约束。

真题

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距离平方和与对称取等

先对全部距离平方求整体关系，再核对称构型是否同时达到所有界。

完整讲解 · 例题 · 可练 9 题

一、是什么

先认识这些量

点集的质心 $G$ 是坐标平均值。恒等式 $\sum ∣ P - A_{i} ∣^{2} = n ∣ P - G ∣^{2} + \sum ∣ G - A_{i} ∣^{2}$ 来自展开后交叉项为零。

为什么这样做

装球时，球心既不能离容器中心太远，也不能彼此太近；两种限制须一起使用，对称摆放只负责验证取等。

先看一道例题

例 1：四点平方和

$A_{i}$ 为 $(1, 1, 1), (1, - 1, - 1), (- 1, 1, - 1), (- 1, - 1, 1)$ ，求空间点 $P$ 到四点距离平方和最小值。

怎么看出来：

四点坐标和为零。

解：

质心为原点，每点模平方 $3$ ，故总和 $4∣ P ∣^{2} + 12 \geq 12$ ，原点取等。

答案：

$12$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
立方体或球内多点距离、等球装球、正多面体投影的极值。	先对全部距离平方求整体关系，再核对称构型是否同时达到所有界。
$A_{i}$ 为 $(1, 1, 1), (1, - 1, - 1), (- 1, 1, - 1), (- 1, - 1, 1)$ ，求空间点 $P$ 到四点距离平方和最小值。	四点坐标和为零。

三、怎么用

选择质心或容器中心。
展开平方和，或同时列容器与间距约束。
用整体估计得到统一界。
给同时满足全部等号的构型。

四、再做一道

例 2：两个等球

半径 $3$ 的球形容器中放两个内部互不相交的等球，求小球最大半径。

怎么看出来：

容器限制中心半径，互不相交限制中心间距。

解：

若小球半径 $r$ ，两球心距至少 $2 r$ ，又至多 $2 (3 - r)$ ，故 $r \leq 3/2$ 。球心取 $(\pm 3/2, 0, 0)$ 时小球彼此及与外球相切，能取等。

答案：

$3/2$ 。

五、容易错在哪

只摆出对称配置不能证明最优，必须有对全部合法配置适用的界。

真题

按这个方法练 · 9 题

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构型分类、可实现性与重复校正

有限几何对象先分类可实现构型，再校正同一对象的重复生成。

完整讲解 · 例题 · 可练 10 题

一、是什么

先认识这些量

立方体两顶点按不同坐标数分成棱、面对角线和体对角线。三个不共线点确定一个平面，但同一平面可能由多个三点组重复给出。

为什么这样做

数参数组不等于数几何对象；共面四点产生四个三点组，必须合并成一个平面。

先看一道例题

例 1：顶点数对分类

立方体八顶点两两连线，棱、面对角线、体对角线各多少条？

怎么看出来：

按不同坐标个数分类。

解：

棱有 $8 \cdot 3/2 = 12$ 条；六个面各两条对角线，共 $12$ 条；体对角线每顶点对应唯一对顶点，共 $8/2 = 4$ 条。合计 $28 = (2 8)$ 。

答案：

分别 $12, 12, 4$ 条。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
棱长取有限值、线面分点取固定比例，或要求若干几何对象的个数。	有限几何对象先分类可实现构型，再校正同一对象的重复生成。
立方体八顶点两两连线，棱、面对角线、体对角线各多少条？	按不同坐标个数分类。

三、怎么用

给顶点明确坐标并确定对象的等价规则。
按邻接或坐标差分类。
逐类核存在性和非退化。
统计同一对象生成次数并去重。

四、再做一道

例 2：顶点确定的平面

立方体八顶点中任选三个点确定平面，共有多少个不同平面？

怎么看出来：

三点不共线，但四点共面时会重计。

解：

四顶点共面可按坐标检查，只有六个面与六个对角矩形，合计 $12$ 个平面，且无平面含五个顶点。 $(3 8) = 56$ 个三点组中，这些平面占 $12 (3 4) = 48$ 组；余下 $8$ 组各给仅含三顶点的平面。共 $12 + 8 = 20$ 。

答案：

$20$ 个。

五、容易错在哪

计数要说明对象按坐标、无序点集还是几何平面去重，不能只数生成它的参数组。

真题

按这个方法练 · 10 题

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误区对照

容易误以为

三棱锥 $P - A BC$ 中 $P A, PB, PC$ 两两垂直， $P A = 1, PB = PC = 2$ 。最长棱 $BC = 22$ ，所以外接球直径为 $22$ ， $R = 2$ 。

应当这样想

把三棱锥补成以 $P A, PB, PC$ 为棱的长方体，四个顶点都是长方体的顶点，外接球就是长方体的外接球： $2 R = 1 + 4 + 4 = 3$ ， $R = \frac{3}{2}$ 。验证：以 $BC$ 中点为心、 $2$ 为半径的球不过 $A$ （ $A$ 到 $BC$ 中点距离 $3$ ）。

为什么

外接球心要到所有顶点等距；最长棱是直径只在特殊构型中成立，必须验证。

容易误以为

正四面体棱长为 $2$ ，内切球心在高的中点，所以内切球半径为高的一半 $\frac{6}{3}$ 。

应当这样想

高 $h = \frac{2 6}{3}$ 。由体积分割 $V = \frac{1}{3} r S_{全}$ ： $\frac{2 2}{3} = \frac{1}{3} r \cdot 43$ ， $r = \frac{6}{6} = \frac{h}{4}$ 。内切球心与外接球心重合，在高的 $\frac{1}{4}$ 处（离底面较近）。

为什么

内切球心到各面等距，用“总体积等于以球心为顶点的各小锥体积之和”求半径，不能凭对称猜位置。

容易误以为

直线 $l$ 垂直于平面 $α$ 内的两条直线，所以 $l ⊥ α$ 。

应当这样想

若这两条直线平行，只提供一个方向。例： $α$ 为 $z = 0$ ，平面内直线 $y = 0$ 和 $y = 1$ 方向都是 $(1, 0, 0)$ ；方向为 $(0, 1, 1)$ 的直线与它们都垂直，却与法向量 $(0, 0, 1)$ 成 $4 5^{\circ}$ ，不垂直于 $α$ 。

为什么

线面垂直判定定理要求平面内两条相交直线；两个不共线的方向才能张成整个平面。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

真题 · 155 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。