2014 年河北预赛 · 第 10 题

解答

整体缩放使 $AD=DC=1$。取 $D=(0,0,0),A=(1,0,0),C=(0,1,0),B=(2,1,0)$，由 $SD=2$ 及两角六十度，可取 $S=(1,1,\sqrt{2})$。设 $E=tS$，$0\le t\le 1$，且 $F=(1,1,0)$。$SF$ 是竖直线，若它平行面 $AEC$，该面必含竖直方向；又面含 $AC$，所以为 $x+y=1$。代 $E$ 得 $t=1/2$。（1）此时 $E=(1/2,1/2,\sqrt{2}/2)$，$CE=(1/2,-1/2,\sqrt{2}/2)$ 与 $AB=(1,1,0)$、$AE=(-1/2,1/2,\sqrt{2}/2)$ 的点积都为零，后两方向独立，所以 $\boxed{CE\perp \text{平面 }ABE}$。（2）平面 $CDE$ 的法向可取 $(\sqrt{2},0,-1)$，$BC$ 平行横轴，故所成角 $\phi$ 的正弦为 $\sqrt{2/3}$，得到 $\boxed{\cos \phi =1/\sqrt{3}}$。