2025 年重庆预赛

解答

（1）约定 $S_0=0$。由已知式，

写成 $b_j={\epsilon }_j/2^j$，其中 ${\epsilon }_j\in \{1,-1\}$，则

把 $\epsilon =1-2\delta$（$\delta \in \{0,1\}$）代入，等价于

其唯一解为 $(0,1,1,0)$。故每四项的符号依次为 $+,-,-,+$，即

（2）证明

恰为全部可能值。$n=1$ 时只有 $S_1=1/2$，结论成立。若 $n=k$ 时成立，则

当 $m=1,2,\dots ,2^{k-1}$ 时，两种符号给出的分子分别为 $4m-3$ 与 $4m-1$，恰好是不超过 $2^{k+1}-1$ 的全部正奇数。因此结论对 $k+1$ 也成立。