2026 年吉林预赛

解答

1. (1)

   当 $a=2$ 时，

   $$f(x)=3\ln x+2x^2+1,f^{\prime }(x)=\frac{3}{x}+4x.$$

   于是

   $$f(1)=3,f^{\prime }(1)=7.$$

   所求切线为

   $$y-3=7(x-1),$$

   即

   $$\boxed{y=7x-4}.$$
2. (2)

   对任意 $x>0$，

   $$f^{\prime }(x)=\frac{a+1}{x}+2ax=a\left(\frac{1}{x}+2x\right)+\frac{1}{x}.$$

   由于 $a\le -2$ 且 $1/x+2x>0$，有

   $$f^{\prime }(x)\le -2\left(\frac{1}{x}+2x\right)+\frac{1}{x}=-\frac{1}{x}-4x.$$

   又由均值不等式，

   $$\frac{1}{x}+4x\ge 2\sqrt{\frac{1}{x}\cdot 4x}=4,$$

   故

   $$f^{\prime }(x)\le -4.$$

   若 $x_1=x_2$，待证不等式显然成立。若 $x_1\ne x_2$，由拉格朗日中值定理， 存在介于 $x_1,x_2$ 之间的 $\xi >0$，使得

   $$f(x_1)-f(x_2)=f^{\prime }(\xi )(x_1-x_2).$$

   因此

   $$|f(x_1)-f(x_2)|=|f^{\prime }(\xi )||x_1-x_2|\ge 4|x_1-x_2|.$$

   命题得证。