2011 年河南预赛 · 第 11 题

解答

（1）令 $P=(a\cos \theta ,a\sin \theta )$，则 $Q=(b\cos \theta ,b\sin \theta )$，投影构造给 $M=(a\cos \theta ,b\sin \theta )$。全体角度得到 $\boxed{E:x^2/a^2+y^2/b^2=1}$。（2）把三点分别变成单位圆上的向量 $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$，线性变换保留向量和为零。由 $\mathbf{u}+\mathbf{v}=-\mathbf{w}$，取模平方得 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=-1/2$，其余两对同理。因此三个单位点构成边长 $\sqrt{3}$ 的正三角形，面积为 $3\sqrt{3}/4$。伸缩回原图，面积乘 $ab$，故 $\boxed{S_{ABC}=3\sqrt{3}ab/4}$。