易混 2022 年新疆预赛 · P006902
两题从几何或复数条件消元后都得到圆锥曲线，但代数方程是否就是完整轨迹须分别回查。弦中点需能反求两个不同实端点，判别式会截出真弧段；模方程平方后则要检验原来的非负条件是否在整条曲线上自动成立。
不能因消元结果外形标准就默认全曲线，也不能预先假定每道题都要删掉相同种类的端点。
培玉 · 一试
2026 年云南预赛
抛物线动弦垂直平分线交点轨迹
F3解答题抛物线
已知直线 过定点 ，且是抛物线
上动弦 的垂直平分线。设 与 的交点为 ，求 的轨迹方程。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
用参数 表示抛物线上的点。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
交点 是弦中点，其纵坐标恰为两端点参数之和； 弦斜率也只依赖这个和。由垂直关系得到轨迹方程后，还需用二次方程判别式确定真正可取的 弧段。
解答
设
因为 是弦 的垂直平分线，所以 是弦的中点。记 ，则
由 可知 。若 ，则弦 为竖直弦，其垂直平分线为 直线 ，不可能经过 ，故 。 弦 的斜率为
直线 经过 和 ，其斜率为 。由 ，
故
下面确定轨迹范围。由式 (1)，以 为根的二次方程的判别式为
动弦端点不同，故必须有 。由式 (2) 得
又 ，所以 。代入判别式条件，
乘以 后得到
函数 严格递增，且在 时等于零，故
因此 的轨迹为
也可写成
复核
反过来，任取 并令 ，都有 。 于是存在两个不同实数 ，其和为 ，并满足式 (1)；相应弦的中点为 ，且经过 的直线与该弦垂直。因此所得条件既必要又充分。
方法总结
抛物线动弦问题可用双参数表示端点，再以参数的和、积表达中点和斜率。 求出代数轨迹后，必须用端点参数方程的判别式恢复非退化弦条件，否则会多收端点或无实弦点。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
斜率垂直仅给出候选双曲线，仍须用弦两参数互异的判别式将整条曲线截为x>1的分支，补足轨迹充分性。
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同一骨架 2026 年培玉原创改编高中数学竞赛 第 1 题 · P011101
两题都在消去参数得到平面直角坐标方程后，必须追问“所得普通方程上的点是否都有合法参数对应”。若不把参数存在性条件折算为横纵坐标范围，就会把整条抛物线或整支双曲线误当成真实轨迹。
前题由闭区间上对勾函数的值域将消元所得抛物线截断在对称轴右侧的闭弧段上；后题由动弦中垂线斜率垂直关系消参得到双曲线方程后，还须由弦两端点参数互异的判别式大于零截出受限双曲线弧。
已记下，谢谢！