2014 年河南预赛 · 第 5 题

解答

设 $E=N+\mathbf{u},F=N-\mathbf{u}$，其中 $|\mathbf{u}|=2$。于是 $\overrightarrow{PE}\cdot \overrightarrow{PF}=|P-N{|}^2-4$。写 $P=(x,y)$，由椭圆方程有 $y^2=15-15x^2/16$，所以目标为 $x^2/16-2x+12$。参数化 $x=4\cos \theta$ 表明 $x$ 恰取遍 $[-4,4]$。该二次式在此区间导数 $x/8-2$ 严格负，两端值分别为二十一和五，故完整范围为 $\boxed{[5,21]}$。