2026 年中科大少年班入围考 · 第 12 题

解答

因为 $1949=2026-77$，原式给 $77x\equiv -1(\mathrm{mod}2026)$。欧几里得算法为

回代得 $1=421\cdot 77-16\cdot 2026$，所以 $x\equiv -421(\mathrm{mod}2026)$。全部可能的 $x=-421+2026t$。当 $t\le 0$ 时绝对值至少四百二十一，$t\ge 1$ 时至少一千六百零五；取 $t=0$ 即得最小值 $\boxed{421}$。