2022 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 8 题

解答

先固定左、中、右三个方格分别由红、黄、蓝主导。记左、中方格的公共边颜色为 $r$，中、右方格的公共边颜色为 $s$。

对一个给定主导色的方格，若已固定一条边的颜色：该颜色等于主导色时，另三边必须各用一种颜色，有 $3!=6$ 种；该颜色不等于主导色时，另三边中主导色出现两次、余下一色出现一次，有 $3$ 种。 因此左方格除公共边外的染法数为

右方格除公共边外的染法数为

对黄色主导的中间方格，其左右两边已分别染为 $r,s$，记上下两边的染法数为 $W(r,s)$。 当 $r=s=\text{黄}$ 时，上下两边为红、蓝的两个次序，故 $W=2$；当 $r=s\ne \text{黄}$ 时，不可能黄色主导，故 $W=0$。 当 $r\ne s$ 且其中一个为黄时，上下两边为黄与缺少的一色，有 $2$ 种次序；当 $r,s$ 为红、蓝时，上下两边必须均为黄，只有 $1$ 种。

三部分的未定边互不重叠，所以固定 $r,s$ 后共有 $L(r)W(r,s)R(s)$ 种染法：

故当前主导色次序的染法数为 $171$。 三个不同主导色在三个位置上有 $3!=6$ 种安排，颜色置换使每种安排的染法数相同，且不同安排不会重计。因此总数为